Über die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen. (German) JFM 59.0270.01

Hahn, H.

Annali Pisa (2) 2, 429-452 (1933).

Es seien \(\varphi (x)\) und \(\psi (x)\) zwei in demselben Mengensystem definierte, total additive Mengenfunktionen. Dann ist die Funktion \(\varphi (x) + \psi (x)\) ebenfalls eine total additive Mengenfunktion, die Produkfunktion \(\varphi (x)\psi (x)\) jedoch nicht. Verf. stellt eine Verknüpfung zwischen \(\varphi (x)\) und \(\psi (x)\) her, die eine total additive Mengenfunktion ist; er bezeichnet sie als das Produkt \(\varphi \times \psi \). Produkte dieser Art gründet Verf. auf folgende Definition: Es seien zwei Räume \(E'\) und \(E''\) gegeben. Dann ist der Produkttraum \(E' \times E''\) die Menge aller Paare \((x',x'')\), wobei \(x'\) zu \(E'\) und \(x''\) zu \(E''\) gehört. Verf. zeigt, daß für das \(n\)-dimensionale Lebesguesche Maß \(\mu _n\) einer Punktmenge des \(n\)-dimensionalen Raumes im Sinne dieser Multiplikation \[ \mu _{k+1} = \mu _k \times \mu _l \] ist. Es besteht ein enger Zusammenhang dieser Multiplikation mit dem Lebesgue-Stieltjesschen Integralbegriff. Ferner wird gezeigt, daß das Reduktionstheorem mehrfacher Integrale dem assoziativen Gesetz dieser Multiplikation äquivalent ist. Verf., der sich der Einfacher halber auf nicht negative Mengenfunktionen beschränkt, entwickelt in 41 Sätzen eine vollständige Theorie der von ihm definierten Multiplikation totaladditiver Mengenfunktionen.

Reviewer: Schilling, B., Prof. (Dresden)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen.