Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind. (German) JFM 59.0271.01

Bochner, S.

Fundamenta 20, 262-276 (1933).

Vorgegeben ist ein vollständiger, metrischer, linear-komplexer Raum \(\mathfrak {F}\), dessen Eigenschaften im einzelnenangegeben werden. In diesem Raume sind Funktionen gegeben, deren Werte nicht Zahlen, sondern Elemente des Vektorraumes sind. Verf. entwickelt eine Integrationstheorie für solche Funktionen. Zuerst erklärt er den Begriff der Meßbarkeit und der Summierbarkeit, dann beweist er die Gültigkeit des Satzes von Fubini. Ferner wird die Differenzierbarkeit und die Approximation im Mittel betrachtet. Im letzten Teil behandelt Verf. die Fourierschen Reihen. Der Aufbau der gesamten Theorie stützt sich auf die Lebesguesche Theorie für reelle und komplexe Funktionen, deren Begriffe und Sätze sich in weitem Umfang aufrechterhalten lassen; jedoch versagt die Besselsche Ungleichung für die Fourierschen Reihen. Ob jede absolut additive Mengenfunktion fast überall differenzierbar ist, bleibt unentschieden. (IV 3 D.)

Reviewer: Schilling, B., Prof. (Dresden)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen.