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Monotone Funktionen, Stieltjessche Integrale und harmonische Analyse. (German) JFM 59.0272.01
Die sehr bemerkenswerte und durchsichtige Arbeit zerfällt gemäß ihrem Titel in drei Abschnitte:
I. Definition von \(k\)-dimensionalen “monotonen” Intervallfunktionen \(\varphi (I)\). Die Intervalle \(I\) sind als linksseitig abgeschlossen vorausgesetzt. \(\varphi (I)\) soll für jedes beschränkte \(I\) definiert, bei endlichen Intervallsummen additiv, und für alle \(I\) gleichmäßig beschränkt sein.
\(I_0\) ist ein Stetigkeitsintervall für \(\varphi \), wenn \(\varphi (I)\) für zu \(I_0\) genügend benachbarte \(I\) sich von \(\varphi (I_0)\) beliebig wenig unterscheidet.
Zwei Intervall-Funktionen heißen “im wesentlichen” gleich, wenn sie in den gemeinsamen Stetigkeitsintervallen gleich sind. Eine Folge von Intervallfunktionen heißt “im wesentlichen konvergent”, wenn sie in den gemeinsamen Stetigkeitsintervallen konvergiert.
Die Menge der Intervallfunktionen ist in dem folgenden Sinne kompakt: Jede unendliche Menge von gleichartig beschränkten Intervallfunktionen enthält eine im wesentlichen konvergente Teilfolge. Die Grenzfunktion einer im wesentliche konvergenten Folge bleibt ungeändert, wenn man die Funktionen der Folge im wesentlichen gleiche ersetzt.
II. Definition des \(k\)-dimensionalen Stieltjesintegrals \[ \int _{\mathfrak {P}} \psi (\alpha ) d \varphi (\alpha ). \] \(\mathfrak {P}\) ist eine endliche Intervallsumme, evtl. der ganze Raum \(\mathfrak {R},\psi (\alpha )\) eine stetige gleichmäßig beschränkte Punktfunktion. Das Integral ist ähnlich wie im ein- und zweidimensionalen Falle erklärt als Grenzwert einer Zerlegungssumme. In diese Zerlegungssumme geht eine aus der Punktfunktion \(\varphi (\alpha )\) wie üblich gewonnene Intervallfunktion \(\varphi (I)\) ein, die im obigen Sinne als monoton vorausgesetzt ist. Dann heißt auch die Punktfunktion \(\varphi (\alpha )\) “monoton”.
Es werden die wichtigsten Eigenschaften der Stieltjesintegrale hergeleitet. Insbesondere ändert sich das Integral nicht, wenn man \(\varphi (\alpha )\) durch eine im wesentlichen gleiche Punktfunktion (d. h. die zugehörigen Intervallfunktionen sollen im wesentlichen gleich sein) ersetzt.
Besonders wichtig ist der folgende Grenzwertsatz: Wenn die Folge von monotonen Intervallfunktionen \(\varphi _m(I)\) “abgeschlossen” (d. h. im wesentlichen und insbesondere für \(\mathfrak {R}\) selbst) gegen die Funktion \(\varphi _0(I)\) konvergiert, so gilt \[ \lim _{m \rightarrow \infty } \int _{\mathfrak {R}} \psi (\alpha ) d \varphi _m(\alpha ) = \int _{\mathfrak {R}} \psi (\alpha ) d \varphi _0(\alpha ). \]
III. \(\alpha \) und \(x\) bedeuten Punkte von \(k\)-dimensionalen Räumen. \(V(\alpha )\) sei eine monotone Punktfunktion (Verteilungsfunktion), \[ f(x) = \int _{\mathfrak {R}} e^{ix\alpha }dV(\alpha ), \] das Integral über den ganzen \(\alpha \)-Raum \(\mathfrak {R}\) erstreckt, die zugehörige charakteristische Funktion. \(V(\alpha )\) und \(f(x)\) bestimmen sich wechselseitig bis auf im wesentlichen gleiche Funktionen.
Ferner gilt der folgende Grenzwertsatz: Wenn die Verteilungsfunktionen \(V_m(I)\) gegen \(V_0(I)\) abgeschlossen konvergieren, so konvergieren die charakteristischen Funktionen von \(V_m\) gleichmäßig in jedem endlichen \(x\)-Intervall gegen die charakteristische Funktion von \(V_0\).
Wann ist eine Punktfunktion \(f(x)\) als charakteristische Funktion darstellbar? Dann und nur dann, wenn \(f(x)\) “positiv-definit” ist. \(f(x)\) heißt dabei positiv-definit, wenn es stetig und beschränkt, \(f(-x) = f(x)\) ist und die Hermiteschen Formen \[ \sum _{\mu =1}^m \sum _{\nu =1}^m f(x_\mu - x_\nu ) \varrho _\mu \overline {\varrho _\nu } \] für beliebige Punkte \(x_\mu, x_\nu \) stets positiv-definit sind. Mit \(f(x)\) und \(g(x)\) ist auch \(f(x)g(x)\) eine charakteristische Funktion.
Zum Schluß wird eine wichtige Anwendung auf die Spektralanalyse quadratisch integrierbarer Funktionen gemacht: \(g(x)\) sei für jedes beschränkte Intervall quadratisch integrierbar. \(\mathfrak {G}\) sei eine Gebietsfolge mit wechselseitigem Randabstand \( \geqq 1\), die monoton gegen den Gesamtraum \(\mathfrak {R}\) konvergiert. Die Zahlen \(c_n\) seien positiv und \(\frac {c_{n+1}} {c_n} \rightarrow 1\). Konvergieren dann mit \(n \rightarrow \infty \) die Funktionen \[ F_n(x) = \frac {1}{c_n} \int _{\mathfrak {G}_n} g(x + \zeta ) \overline {g(\zeta )} d \zeta \] für fast alle \(x\) und \(x = 0\) gegen die endliche Grenzfunktion \(F(x)\), so gibt es eine Verteilungsfunktion \(V(\alpha )\), so daß für fast alle \(x\) \[ F(x) = \int _{\mathfrak {R}} e^{ix\alpha } dV(\alpha ) \] ist. - Dieser Satz umfaßt und verallgemeinert ähnliche Sätze von Plancherel und Wiener. (IV 3 D, 7.)

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References:
[1] oder monoton abnehmenden.
[2] Man pflegt diesen Satz nach Helly zu benennen; E. Helly, Sitzungsberichte der Wiener Akademie121 (1912), S. 265-297. Die Benennung ?im wesentlichen gleich? und ?im wesentlichen konvergent? ist nach A. Wintner, Spektraltheorie der unendlichen Matrizen, 1929, S. 77.
[3] Die Theorie der Stieltjesschen Integrale in mehreren Veränderlichen ist zuerst von J. Radon, Wiener Berichte122 (1913), systematisch in Angriff genommen worden. Vgl. auch A. Kolmogoroff Untersuchungen über den Integralbegriff, Math. Annalen103 (1930), 654-696.
[4] Für Funktioneneiner Veränderlichen bereits angegeben in des Verfassers: Vorlesungen über Fouriersche Integrale, Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1932, insbesondere Kapitel IV.?Wir werden das Buch im folgenden mit ?Fouriersche Integrale? zitieren.
[5] N. Wiener, Acta Mathematica55 (1930), S. 117-258. · JFM 56.0954.02 · doi:10.1007/BF02546511
[6] Ein auf M. Jacob zurückgehender Ansatz zu dieser Verallgemeinerung findet sich bereits bei N. Wiener, l.c. · JFM 56.0954.02 · doi:10.1007/BF02546511
[7] Wenn eine linke Intervallgrenze?? beträgt, so ist in (1, 11) das Zeichen ? durch <zu ersetzen.
[8] Auf Intervallfunktionen verschiedenen Vorzeichens werden wir in einer späteren Mitteilung zurückkommen.
[9] Wir erinnern, daß wir unter Intervallfunktionen schlechthin nur die in 1.2 beschriebenen verstehen.
[10] J. Radon, l. c. 3) Wiener Berichte122 (1913) ? Die Funktion ? (?) kann auch komplexwertig sein.
[11] Fürk=1 von Helly, l. c. J., Radon, l. c. 3) Wiener Berichte122 (1913) ? Die Funkton ? (?) kann auch komplexwertig sein.
[12] Für Funktioneneiner Veränderlichen bereits angegeben in des Verfassers: Vorlesungen über ?Fouriersche Integrale?, Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1932, S. 192, Satz 60.
[13] Für Funktioneneiner Veränderlichen bereits angegeben in des Verfassers: Vorlesungen über ?Fouriersche Integrale?, Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1932, S. 194-195.
[14] Für Funktioneneiner Veränderlichen bereits angegeben in des Verfassers: Vorlesungen über ?Fouriersche Integrale?, Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1932, S. 189.
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