×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les ensembles compacts de fonctions sommables. (French) JFM 59.0276.01
Es sei \(R\) ein euklidischer Raum mit endlich vielen Dimensionen, \(x\) ein Punkt von \(R, dx\) das entsprechende Volumelement, \(x+h\) das Ergebnis der auf den Punkt \(x\) angewendeten Verschiebung \(h,|h|\) der in euklidischer Metrik gemessene absolute Betrag von \(h\). Mit \(L^p\) wird, wie üblich, für ein festes \(p \geqq 1\) die Klasse der in \(R\) definierten und meßbaren Funktionen bezeichnet, für welche das Integral \[ \int _R |f(x)|^p dx \] existiert. Verf. setzt für eine solche Funktion \[ ||f|| = ||f(x)|| = \left \{\int _R |f(x)|^p dx\right \}^{\frac {1}{p}} \tag{1} \] und \[ ||f||_E = ||f(x)||_E = \left \{\int _E |f(x)|^p dx\right \}^{\frac {1}{p}}, \tag{2} \] wenn \(E\) eine beliebige meßbare Teilmenge von \(R\) bedeutet. Die Minkowskische Ungleichung \[ ||f + g|| \leqq ||f|| + ||g|| \tag{3} \] besagt, daß die Gesamtheit der betrachten Funktionen \(f(x)\) durch (1) zu einem metrischen Raum gemacht wird. Ferner nennt Verf. eine positive Zahl \(M\) eine Schranke von \(f(x)\), wenn \[ ||f(x)|| \leqq M \tag{4} \] ist. Unter diesen Festsetzungen gilt zunächst für jede Funktion \(f(x)\) der Klasse \(L^p\) \[ \lim _{|h| \rightarrow 0} ||f(x + h) - f(x)|| = 0. \tag{5} \] Das ist für \(p = 1\) eine bekannter Lebesguescher Satz; der Beweis für \(p = 1\) überträgt sich aber ohne Weiteres auf den hier vorliegenden allgemeineren Fall \(p \geqq 1\). Schließlich versteht Verf. unter \(E_A\) die Gesamtheit derjenigen Punkte von \(R\), für die der Abstand von einem festen Punkt von \(R\) größer als \(A\) ist; dann gilt \[ \lim _{A \rightarrow \infty } ||f||_{E_A} = 0. \tag{6} \] Nach Fréchet heißt eine Funktionmenge \(\{f(x)\}\) aus der Klasse \(L^p\) “kompakt im Sinne \(L^p\)”, wenn jede unendliche Teilmenge von \(\{f(x)\}\) eine Folge enthält, die im Sinne \(L^p\) eine Grenzfunktion besitzt.
Den hauptsächlichen Gegenstand der vorliegenden Arbeit bildet der Beweis des folgenden Satzes: Eine Funktionenmenge \(\{f(x)\}\) aus der Klasse \(L^p\) ist dann und nur dann im Sinne \(L^p\) kompakt, wenn die Beziehungen (4), (5) und (6) gleichmäßig für alle Funktionen der Menge \(\{f(x)\}\) gelten. Vgl. dazu die Arbeiten von A. Kolmogoroff, “Über die Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel” (Nachrichten Göttingen 1931, 60-63; F. d. M. 57) und J. D. Tamarkin “On the compactness of the space \(L_p\)” (Bulletin A. M. S. 38 (1932), 79-84; F. d. M. 58). (IV 7.)

PDF BibTeX XML Cite