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Sur la série de Fourier d’une fonction monotone. (French) JFM 59.0304.01

Man verdankt Carathéodory (1920; F. d. M. 47, 256 (JFM 47.0256.*)) notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß eine trigonometrische Reihe \[ \frac {a_0}{2} + \sum _{a=1}^\infty (a_n \cos n \varphi + b_n \sin n \varphi ) \tag{1} \] die Fourierreihe einer monotonen Funktion sei. Dieselbe Frage behandelt Verf. in der vorliegenden Arbeit; er beweist folgenden Satz I: Die Reihe (1) ist dann und nur dann die Fourierreihe einer auf \((0,2\pi )\) summierbaren und nicht abnehmenden Funktion, wenn mit den Bezeichnungen \[ c_{-1} = -b_1 -ia_1,\^^Mc_0 = -ia_0,\;c_n = b_n - ia_n \quad (n = 1,2,\ldots ) \tag{2} \]
\[ \lim _{n \rightarrow \infty } c_n = 0 \tag{3} \] ist, und die Funktion \[ f(\omega ) = \sum _{n=0}^\infty \left (nc_n - \frac {n+1}{2} c_{n+1} - \frac {n-1}{2} c_{n-1}\right ) \omega ^n \tag{4} \] für \(|\omega | < 1\) einen positiven Realteil besitzt.
Verf. beweist noch einen verwandten Satz II und gibt zum Schluß ein Ergebnis an, das ihm Carathéodory mitgeteilt hat: Aus dem Satz VII der oben angeführten Carathéodoryschen Arbeit folgt in Verbindung mit Satz I des Verf: Die Reihe \[ \sum _{n=1}^\infty n^{-1} (a_n\cos n \varphi + b_n\sin n \varphi ), \tag{5} \] deren Koeffizienten \(a_n,b_n\) der Bedingung (4) genügen, ist dann und nur dann die Fourierreihe einer beschränkten Funktion, wenn die durch (2) erklärte Folge \(c_n\) gegen eine reelle Zahl konvergiert.

Citations:

JFM 47.0256.*
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Full Text: DOI Numdam EuDML