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Über den Differential- und Differenzenquotient von regulären analytischen Funktionen, insbesondere von Polynomen. (German) JFM 59.0313.05
\(G\) sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet der \(z\)-Ebene; \(a\) und \(b\) seien zwei Punkte aus \(G\). \(\mathfrak F\) sei eine Menge von in \(G\) regulären Funktionen, die keine Konstanten, aber alle ganzen linearen Funktionen eines jeden ihrer Elemente enthält. \(z\) sie ein Element von \(\mathfrak F\), \(\mathfrak F_{a,b}\) sei die Teilmenge derjenigen Funktionen \(f(z)\) von \(\mathfrak F\), für die \(f(a)=a, \quad f(b)=b\) ist. Es sei \[ f'(z_1,z_2)=\begin{cases} \dfrac {f(z_1)-f(z_2)}{z_1-z_2}, & z_1\neq z_2;\\ f'(z_1), & z_1=z_2. \end{cases} \] \(B\) sei eine zusammenhängende Punktmenge, \(K\) ein beschränktes Teilkontinuum derselben. \(\mathfrak C\) sei die Menge der \(G\) angehörenden einfachen Kurvenbogen \(C\), die \(a\) mit \(b\) verbinden. Dann werden die folgenden funktionen betrachtet: \[ A _G(a,b,\mathfrak F )=\underset {_{\substack{ C\subset {\mathfrak C}\\ f(z)\subset {\mathfrak F}_{a,b}}} } {\text{fin}\inf } (\underset {z\subset C} {\text{Max}}| f'(z)| ), \]
\[ A_{G, \mathfrak F}^{*}\underset {a\neq b\subset G} {\text{fin}\inf }A_G(a,b,\mathfrak F), \]
\[ \alpha _{B,\mathfrak F}=\underset {_{\substack{ K\subset B\\ f(z)\subset \mathfrak F}} } {\text{fin}\inf } \dfrac {\underset {z\subset K} {\text{Max}}| f'(z)| } {\underset {z_1,z_2\subset K} {\text{Max}}| f'(z_1,z_2)| }. \] Ergebnisse: Ist \(B_1\) eine zusammenhängende Teilmenge von \(B\), so ist \(\alpha _B\leqq \alpha _{B_1}\). Ist \(S\) eine Strecke oder Halbgerade oder ganze Gerade, so ist \(\alpha _S=1\). Ist \(K_{\varphi }\) ein Kreisbogen mit dem Öffnungswinkel \(\varphi,\quad 0<\varphi <2\pi \), so ist \[ \alpha _{K_{\varphi }}=\frac {2\sin \tfrac {\varphi }{2}}{\varphi }. \] Enthält \(B\) innere Punkte, so ist \(\alpha _B=0\). Es ist \[ A_{G,\mathfrak F}^{*}=\alpha _{g,\mathfrak F}. \] Ist \(E\) die endliche Ebene, so ist \[ \alpha _{E,\mathfrak F}=A_E(a,b,\mathfrak F). \] Ist insbesondere \(\mathfrak F^n\) die Familie der Polynome höchstens \(n\)-ten Grades, so setze man \[ \alpha _{E,\mathfrak F^n}=A_E(a,b,\mathfrak F^n)=A_n. \] Dann ist \[ 1=A_1=A_2>\frac {12}{13}=A_3>A_4\cdots, \]
\[ A_n\geqq \dfrac {1}{Gn(n-1)^{\tfrac {(n-1)^2}{2}}}. \] Ist \(P(z)\) ein Polynom höchstens \(n\)-ten Grades, \(P(0)=0,P(1)=1\), so gibt es auf jedem 0 und 1 verbindenden Kurvenbogen mindestens ein \(z^{*}\), so daß\^^M \[ | P'(z^{*})| \geqq A_n. \] \(A_n\) ist scharfe Schrankte.
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