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Über das Verhalten der Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises. III. (German) JFM 59.0318.04
Die Note bringt im I. Abschnitt eine Berichtigung der gleichbetitelten Note in M. Z. 33 (1931), 791-795 (F. d. M. 57). Im Beweis des Satzes des dortigen I. Abschnitt -einer Ergänzung zum Abelschen Grenzwertsatz - ist ein Versehen stehen geblieben, und es ist fraglich, ob der Satz selbst richtig bleibt. An seiner Stelle wird jetzt der folgende, in gewisser Hinsicht bessere Satz bewiesen: Ist \(\sum a_n\) konvergent, so konvergiert die Potenzreihe \(\sum a_nx^n\) gleichmäßig im Innern und auf dem Rand jedes den Kreis \(| x| =1\) im Punkt \(+1\) von innen berührenden Kreises, falls für ein \(\tau >0\) \[ \sum \limits _{n}| a_n|,\quad \alpha \leqq n\leqq \alpha ^{1+\tau }, \] für \(\alpha \to +\infty \) gegen 0 strebt.
Der II. Abschnitt bringt ein neues, besonders durchsichtiges Beispiel einer Potenzreihe, die auf dem Rande des Konvergenzkreises gleichmäßig, aber nicht absolut konvergiert. Es ist dies die Reihe, die aus \[ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac {(-1)^n}{n} \left [\frac 12x(1+x)\right ]^{k_n}, \quad k_n=2^{(2^n)}, \] ensteht, wenn die Polynome in ihre Glieder zerlegt werden.

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