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Recherches sur l’ultraconvergence. (French) JFM 59.0321.04

Es handelt sich um die von Porter und von Jentzsch entdeckte Erscheinung der Überkonvergenz bei Abschnitten von Potenzreihen. Verf. gibt zunächst einen neuen Beweis der Ostrowskischen Sätze. Diese ergeben sich ihm aus dem folgenden Fundamentalsatz: Es gelte für die Abschnitte \(s_{n_k}\) einer Potenzreihe \(f(z)\) in einem Bereiche \(B\) im Äußern des Konvergenzkreises (Einheitskreis) eine Ungleichung \[ \frac {1}{n_k'}\log | s_{n_k}(z)| <U(x)+\varepsilon _{n_k}(z). \] Dabei sei \(U(z)\) stetig und \(<\log | z| \) in \(B\). Dann gibt es zwei Zahlen \(\lambda <1\) und \(r>1\), die nur von \(B\) und \(U(z)\) abhängen derart, daß die Glieder \(a_nz^n\) der gegebenen Reihe, für die \(n\) keinem der Intervalle \(\lambda n_k<n\leqq n_k\) angehört, eine Reihe bilden, deren Konvergenzradius mindestens \(r\) ist.
Gehört \(B\) dem Existenzbereich von \(f(z)\) an, so gibt es drei Zahlen \(\lambda <1, \lambda '>1, r>1\), die nur von \(B\) und \(U(z)\) abhängen, derart, daß die Glieder von \(f(z)\), deren Nummer keinem der Intervalle \(\lambda n_k<n<\lambda 'n_k\) angehören, eine Reihe mit einem Konvergenzradius \(\geqq r\) bilden. Der Fundamentalsatz bleibt richtig, wenn \(B\) kein Bereich, sondern eine Punktmenge nicht verschwindender Kapazität ist.
Man kann punktfremde Bereiche \(B_n\) vorgeben und dann eine Potenzreihe so konstruieren, daß eine Folge von Abschnitten derselben genau in den \(B_n\) und sonst nirgends konvergiert. Gibt man zu jedem \(B_n\) noch eine darin reguläre Funktion \(f_n(z)\) vor, so kann man eine Potenzreihe konstruieren, so daß je eine gewisse Abschnittsfolge derselben in je einem der \(B_n\) gegen \(f_n(z)\) konvergiert.
Man kann die Potenzreihe auch so einrichten, daß eine und dieselbe abschnittsfolge in zwei verschiedenen Gebieten gegen Stücke derselben analytischen Funktion konvergiert. Man kann ferner die Potenzreihe so einrichten, daß eine gegebene Abschnittsfolge die Überkonvergenz zeigt, während eine andere gegebene Abschnittsfolge divergiert.
Es folgt eine eingehende Untersuchung der Beziehungen zwischen verschiedenen überkonvergenten Abschnittsfolgen. Dann werden Beziechungen zu den Summationsmethoden herausgestellt.
Im zweiten Teil handelt es sich um die Überkonvergenz bei allgemeineren Reihen, insbesondere auch bei Dirichletschen Reihen.

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