On continuability of power series. (English) JFM 59.0322.02

Zygmund, A.

Acta Szeged 6, 80-84 (1933).

Hat \(\sum a_nz^n\) den Radius 1, so können die Zahlen \(\varepsilon _n\) mit \(| \varepsilon _n| =1\) oder auch \(\varepsilon _n=\pm 1\) so gewählt werden, daß\(\sum \varepsilon _na_nz^n\) über den Einheitskreis nicht fortsetzbar ist (Satz von Pólya 1916). Darüber hinaus haben Paley und Zygmund (On some series of functions, Proceedings Cambridge 28 (1932), 190-205; F. d. M. 58) bewiessen, daßfür “fast alle” Folgen \(\varepsilon _n=\pm 1\) die Reihe nicht fortsetzbar ist; und Steinhaus bewies 1929 (F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 187), daßauch für “fast alle” komplexen \((\varepsilon _n)\) die Reihe nicht fortsetzsbar ist. Das “fast alle” hat beidemal einen verschiedenen, aber genau festgelegten Sinn. In der vorliegenden Note wird nun ein neuer Beweis des ersten dieser beiden Sätze gegeben, der die beim Beweis des zweiten entwickelten Methoden von Steinhaus benutzt.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente.