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Sur les fonctions méromorphes limites de fractions rationelles à termes entrelacés. (French) JFM 59.0331.04

Eine rationale Funktion \[ R(z)=\frac {b_0z^n+\cdots +b_n}{a_0z^n+\cdots +a_n} \] heißt verschränkt, wenn die Nullstellen vom Zähler und Nenner reell sind und abwechselnd bei Durchlaufung der reellen Achse angetroffen werden. Je nachdem ob \(a_0\neq 0\) oder \(a_0=0\), ist \[ R(z)=A_0+\sum \limits _{1}^{n}\frac {A_i}{z-\alpha _i} \] oder \[ R(z)=A_0-Bz+\sum \limits _{1}^{n-1}\frac {A_i}{z-\alpha _i}, \] wo die \(A_i\) und \(B\) alle einerlei Vorzeichen haben. Die durch eine solche rationale Funktion vermittelte Abbildung der oberen Halbebene vergrößert nie den kreisgeometrischen Abstand. Ist eine meromorphe Funktion Grenzfunktion solcher rationalen Funktionen, so liegen auch ihre sämtlichen Nullstellen und Pole auf der reellen Achse und sind verschränkt. Auch eine solche Grenzfunktion ist außerhalb der reellen Achse nirgends reell. Eine solche meromorphe Funktion ist stets von der Form \[ f(z)=A_0-Bz+\sum A_i \left ( \frac {1}{z-\alpha _i}+\frac {1}{\alpha _i}\right ), \] wo die \(A_i\) und \(B\) einerlei Vorzeichen haben und \(\sum \dfrac {A_i}{\alpha _i^2}\) konvergiert. Diese Form der Partialbruchreihen ist auch hinreichend dafür, daß\(f(z)\) Grenzfunktion einer Folge verschränkter rationaler Funktionen ist.
Weiter wird der Sonderfall behandelt, daßalle Pole positiv sind. Hier gelten ähnliche Ergebnisse. Hübsche Ergebnisse liefert auch die Iteration verschränkter rationaler Funktionen. Endlich werden gewisse Verallgemeinerungen untersucht, so die Grenzfunktionen rationaler Funktionen \[ A_0+\sum \frac {A_i}{z-\alpha _i}, \] wo die \(A_i\) reell sind und die \(\alpha _i\) einer Halbebene angehören. Auch die in der oberen Halbebene regulären Funktionen mit positivem Imaginärteil vergrößern nie den kreisgeometrischen Abstand.
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Full Text: DOI Numdam EuDML