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Algebraic functions. (English) JFM 59.0384.03
Die Kapitelüberschriften (mit kurzen Hinweisen auf den Inhalt) sind: I. Eindeutige analytische Funktionen (außerdem Resultanten und Diskriminanten bei Polynomen einer Veränderlichen); II:Algebraische Funktionen und ihre Reihenentwicklungen (Newtonsches Polygon); III:Rationale Funktionen (d. h. Funktionen eines algebraischen Funktionenkörpers einer Veränderlichen; Divisoren; Basis; Geschlecht; Elementarintegrale; Riemann-Rochscher Satz); IV. Die Riemannsche Fläche einer algebraischen Funktion (kanonische Zerschneidung); V. Integrale rationaler Funktionen (Perioden; Normalintegrale); VI. Abels Theorem; VII. Birationale Transformationen (elliptische und hyperelliptische Gebilde; Bézoutscher Satz; adjungierte Polynome bei einfachen Singularitäten); VIII. Reduktion der Singularitäten durch Transformation (auf mehrfache Punkte mit getrennten Tangenten durch Cremonatransformation, auf gewöhnliche Doppelpunkte durch birationale Transformation, das letztere in der projektiven und der “funktionentheoretischen” Ebene); IX. Umkehrung Abelscher Integrale (bei den Geschlechtern Null und Eins); X. Beispiele (besonders Funktionen mit zwei- oder dreiblättriger Riemannscher Fläche).
Die Methode ist im wesentlichen die des Werkes von Hensel und Landsberg (1902; F. d. M. 33, 427 (JFM 33.0427.*)-429): die der Potenzreihenentwicklungen. Sie führt bis zu wirklicher Aufstellung aller betrachteten Gebilde ohne vorherige Auflösung der Singularitäten; die Auflösung einer algebraischen Gleichung mit Zahlenkoeffizienten gilt dabei als ausführbare Operation. Die Darstellung hat die Vorzüge, die man von manchen amerikanischen Lehrbüchern kennt. Ein genau umgrenzter bescheidener Kreis von Kenntnissen wird benutzt; die Beweise sind mit großer Sorgfalt auf die erreichbare Einfachheit hin durchgearbeitet. Besonders wertvoll sind die genau durchgerechneten Beispiele des letzten Kapitels.

Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. C. Algebraische Funktionen.