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Addition to the note on some functionals. (English) JFM 59.0409.02
Die Sätze (1) und (2) der vorhergehenden Note werden auf vollständig additive Funktionen von Mengen in abstrakten Räumen ausgedehnt, z. B:
\(\mathfrak R^{*}\) sei eine additive Familie in einem abstrakten Raum \(E\), deren Mengen \(X\) ein endliches und additives Maß \(\mu (X)\geqq 0\) zugewiesen ist. Die zu \(\mathfrak R^{*}\) gehörigen Mengen heißen meßbar. Es sei \(\{ F_n(X)\}\) eine Folge von vollständig additiven und absolutstetigen Funktionen. Wenn diese Folge für jede Menge, die zu einer Klasse der zweiten Kategorie im Raume \(\mathfrak R^{*}\) gehört, konvergiert, so sind die \(F_n(x)\) gleichgradig absolutstetig, und die Folge \(\{ F_n(X)\}\) konvergiert für jede meßbare Menge \(X\subset E-(E_1+\cdots +E_m)\), wo die \(E_i\) die Eigenschaft haben, daß für jede meßbare Teilmenge \(Y\) entweder \(\mu (Y)=0\) oder \(\mu (X-Y)=0\) ist.
Daher ist, wenn \(\{ F_n(X)\}\) für jede meßbare Menge konvergiert, die Grenzfunktion wieder eine vollständig additive und absolutstetige Funktion auf den meßbaren Mengen von \(E\).
In den bewiesenen Sätzen sind die Rezultate von Nikodym aus der Arbeit “Sur les suites de fonctions parfaitement additives d’ensembles abstraits” (C. R. 192 (1931), 727-728; F. d. M. 57) enthalten.

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