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Die Differentiale in der allgemeinen Analysis. (German) JFM 59.0415.01
Die Arbeit behandelt zwei Probleme: I. Bedingungen, denen ein Ausdruck genügen muß, um das Differential einer Operation zu sein. II. Verallgemeinerung des Stokesschen Satzes auf die regulären Hyperflächen des Banachschen Raumes.
I. Die vorkommenden Operationen ordnen den Elementen \(P,X,\dots \) eines Banachschen (linearen, normierten, vollständigen) Raumes die Elemente eines andern oder desselben Banachschen Raumes zu. Gibt es eine lineare Operation \(\psi (X)\) derart, daß\^^M \[ \frac {\| F(P+X)-F(P)-\psi (X)\| }{\| X\| } \] mit \(\| X\| \) gegen 0 strebt, so heißt \(\psi (X)\) das Differential \(dF(P;X)\) der Operation \(F(P)\) für \(P\). -Allgemeiner heißt jede Operation \(\varPhi (P,X)\), die von \(P\) in beliebiger Weise und von \(X\) linear abhängt, ein Differential. Das vorige heißt zum Unterschied “vollständiges Differential”. -Das partielle Differential von \(dF(P;X)\) nach \(P\) heißt das zweite Differential \(d^2F(P;X;Y)\) von \(F(P)\); usw.
Satz 1. Besitzt \(F(P)\) in einer Umgebung von \(P_0\) ein in bezug auf \(P\) stetiges zweites Differential, so ist dieses für \(P=P_0\) in bezug auf \(X,Y\) symmetrisch: \[ d^2F(P_0;X;Y)=d^2F(P_0;Y;X). \] (Symmetrie ist also für Vollstängigkeit notwendig.)
Satz 2. Besitzt das Differential \(\varPhi (P,X)\) in einer Kugel um \(P_0\) ein in bezug auf \(P\) stetiges und in bezung auf \(X,Y\) symmetrisches Differential \(d\varPhi (P;X;Y)\), so gibt es in der Kugel genau eine Operation \(F(P)\), die für \(P_0\) einen bestimmten Wert \(F_0\) annimmt, und deren Differential gleich \(\varPhi (P,X)\) ist. Also: Besitzt \(\varPhi (P,X)\) in der Kugel ein stetiges Differential,so ist dessen Symmetrie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Vollständigkeit von \(\varPhi \).
Diese Sätze werden noch verallgemeinert.
Es wird das Analogon zum curl definiert, das “Rotational” genannt wird, und dann das Analogon zum Stokesschen Satz bewiesen, daß das Integral des Rotationals über ein Hyperflächenstück gleich dem Kurvenintegral des Differentials über den Rand ist.

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