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The Fourier integral and certain of its applications. (English) JFM 59.0416.01
Cambridge, University Press. XII+201 p (1933).
In der Einleitung weist Verf. zunächst (\(\S \) 1) auf die Bedeutung der harmonischen Analyse für die Operatorenrechnung hin, insbesondere für das Rechnen mit solchen (von Valterra betrachteten) linearen Operatoren \(T\), die die Eigenschft \[ \text{aus}\quad T(f)=g, f(x+h)=f_1, g(x+h)=g_1, \quad \text{folgt}\quad T(f_1)=g_1 \] besitzen, und gibt unter diesem Gesichtspunkt eine kurze Übersicht über den Inhalt des Buches. \(\S 2\) der Einleitung enthält (teils mit, teils ohne Beweise) einen Abriß der Lebesgueschen Maß- und Integrationstheorie einschließlich der elementaren Eigenschaften des Stieltjesschen Integrals sowie der Schwarzschen, Hölderschen und Minkowskischen Ungleichung. In \(\S 3\) wird der Fischer-Rieszsche Satz in der Weylschen Fassung bewiesen. Beim Beweis ergibt sich das im folgenden oft angewendete Prinzip \((X_{41})\): Aus l. i. m. \(f_n(x)=f(x)\) und \(\lim f_n(x)=g(x)\) folgt \(f\equiv g\) fast überall. Das Zeichen l. i. m. bedeutet dabei Konvergenz im Mittel in bezug auf \((-\infty,+\infty )\). An einem Beispiel wird gezeigt, daß weder aus der Konvergenz im Mittel die gewöhnliche Konvergenz, noch aus der gewöhnlichen Konvergenz die Konvergenz im Mittel folgt. In \(\S 4\) werden die bekannten Begriffsbildungen und Sätze bei Orthogonalsystemen besprochen, z. B. die Vollständigkeit, der Parsevalsche Satz, die Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen und dergl.
Kap. I ist dem Beweis des Plancherelschen Satzes gewidmet. In \(\S 5\) werden die Reziprozitätsformeln für die Fouriertransformierten \(g\) einer Funktion \(f\) zunächst heuristisch durch formalen Grenzübergang aus der Fourierreihe aufgestellt und an einigen Beispielen verifiziert. Die Schlußbemerkung, daß (formal) der Operator \(\dfrac {d^2}{dx^2}- x^2\) bei Fouriertransformation invariant bleibt, führt in \(\S 6\) zur Betrachtung der Gleichung \[ \omega ''-x^2\omega =\lambda \omega \] und damit zu den Hermiteschen Polynomen und Funktionen. \(\S 7\) behandelt die erzeugenden Funktionen. Ist \(H_n(x)\) das \(n\)-te Hermitesche Polynom und \(\psi _n(x)\) die durch Normierung in bezug auf \((-\infty,+\infty )\) aus \(H_n\exp \left ( -\dfrac {x^2}{2}\right ) \) hervorgehende Funktion, so wird mit Hilfe der erzeugenden Funktion für die \(\psi _n\) eine Integralgleichung für \[ K(x,y,t)=\sum \limits _{0}^{\infty }t^n\psi _n(x)\psi _n(y) \] aufgestellt und durch deren Lösung ein geschlossener Ausdruck für diese Reihe gefunden. Unter Benutzung dieses Ausdrucks, des Fischer-Rieszschen Theorems und des Prinzips \((X_{41})\) wird am Schluß von \(\S 7\) die Formel \[ \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(y)K(x,y)dy \sim \sum \limits _{0}^{\infty } t^n\psi _n(x)\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(y)\psi _n(y)dy \] bewiesen, die in \(\S 8\) als Ausgangspunkt für den Beweis der Abgeschlossenheit der Hermiteschen Funktionen dient. Nunmehr läßt sich zeigen, daß die Funktion \[ g(x)=\underset {t\to 1-0} {\text{l. i. m.}}\int \limits _{-\infty }^{\infty } f(y)K(x,y,-it)dy \] existiert, wenn \(f\subset L_2\), d. h. im Lebesgueschen Sinn quadratisch integrierbar ist. Auf Grund des gefundenen Ausdrucks für \(K\) erweist sich bei formalen Grenzübergang \(g\) sofort als identisch mit der Fouriertransformierten von \(f\). Der exakte Nachweis für diese Identität wird in \(\S 9\) geführt; da \(f\) sich in entsprechender Weise als Fouriertransformierte von \(g\) erweist, ist der Plancherelsche Satz bewiesen. Historische Angaben über andere Beweise des Satzes sowie ein Zusatz über den Parsevalschen Satz für das Fourierintegral beschließen das Kapitel.

Kap. II ist dem Beweis des allgemeinen Tauberschen Satzes gewidmet. Verf. versteht hierunter die folgenden zwei Sätze:
Satz 4. \(K_1(x), K_2(x)\) mögen zu \(L_1\) gehören, und die Fouriertransformierte von \(K_1\) möge keine reelle Nullstelle haben. \(f(x)\) sei in \((-\infty,+\infty )\) beschränkt. Dann folgt aus dem Bestehen von \[ \lim \limits _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty } K(x-y)f(y)dy=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }K(x)dx \tag{1} \] für \(K=K_1\) die Richtigkeit für \(K=K_2\).
Satz 5. \(M_1\) sei die Unterklasse von \(L_1\) aller der Funktionen \(K(x)\), für die \[ \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\text{Max}| f(x)| \qquad (n\leqq x\leqq n+1) \] konvergiert. \(K_1,K_2\) seien zwei Funktionen aus \(M_1\). Die Fouriertransformierte von \(K_1\) habe keine reelle Nullstelle. \(f(x)\) sei eine Funktion, die in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung ist, und \(\int \limits _{n}^{n+1}| dg(x)| \) sei in \((-\infty,\infty )\) beschränkt. Aus dem Bestehen der Gleichung \[ \lim \limits _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty } K(x-y)dg(y)=A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K(x)dx \tag{2} \] für \(K=K_1\) folgt ihre Richtigkeit für \(K=K_2\).
Die Notwendigkeit der Voraussetzung bezüglich der Nullstellen der Fouriertransformierten von \(K_1\) wird sofort an einem Beispiel gezeigt. Die beiden Sätze werden in einer etwas verallgemeinerten Form bewiesen. Versteht man nämlich unter der \(L_1\)-Ausdehnung \(\varepsilon (\varSigma )\) einer zu \(L_1\) gehörenden Funktionklasse \(\varSigma \) die Gesamtheit der Funktionen \(K=K_2\), für die (1) immer dann (bei beschränktem \(f\)) gilt, wenn (1) für alle Funktionen \(K=K_1\) aus \(\varSigma \) gilt, so ist Satz 5 enthalten in dem folgenden
Satz 6: Gibt es kein reelles Argument, für das die Fouriertransformierte jeder Funktion aus \(\varSigma \) verschwindet, so ist \(\varepsilon (\varSigma )=L_1\).
In ähnlicher Weise wird unter Verwendung der “\(M_1\)-Ausdehnung” \(\varepsilon '(\varSigma )\) der Beweis von Satz 5 auf den eines allgemeineren Satzes 7 zurückgeführt. Es wird nun zunächst eine Reihe von Hilfssätzen aufgestellt, durch welche der Bereich der als zu \(\varepsilon (\varSigma )\) bzw. zu \(\varepsilon '(\varSigma )\) gehörend erkannten Funktionen schrittweise erweitert wird. Als weitere Hilfsmittel für den Beweis bringt \(\S 11\) Sätze über Funktionen, deren Fouriertransformierte für große Werte des Arguments verschwinden, und \(\S 12\) Sätze über absolut konvergente Fourierreihen, insbesondere den Satz: Ist \(f(x)\) eine stetige Funktion mit absolut konvergenter Fourierreihe, und ist \(f(x)\neq 0\) in \((-\pi,\pi )\), so besitzt \(\dfrac {1}{f(x)}\) ebenfalls eine absolut konvergente Fourierreihe. In \(\S 13\) wird dann der endgültige Beweis der Sätze 6 und 7 gegeben. \(\S 14\) handelt von der Vollständigkeit der aus einer Funktion \(K_1(x)\) aus \(L_1\) entstandenen Verschiebungsfunktionen \(K_1(x-\varLambda _n)\) in dem Sinne, daß für jedes \(K_2\subset L_1\) \[ \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left | K_2(x)- \sum \limits _{1}^{N}A_nK_1(x-\varLambda _n)\right | dx \tag{3} \] durch Wahl von \(N\), reeller Zahlen \(\varLambda _n\) und komplexer Zahlen \(A_n(n=1,2,\dots,N)\) beliebig klein gemacht werden kann. Hierfür erweist sich als hinreichend und auch notwendig, daß die Fouriertramsformierte von \(K_1\) keine reellen Nullstellen hat. \(\S 15\) behandelt das entsprechende Problem für Funktionen aus \(L_2\). Hier wird verlangt, daß das Integral über das Quadrat des Integranden von (3) beliebig klein wird.
Kap. III (Spezielle Taubersche Sätze) behandelt Anwendungen der Allgemeinen Tauberschen Sätze. In \(\S 16\) wird der ursprüngliche Taubersche Satz in der verschärften Littlewoodschen Fassung: Ist \[ f(x)=\sum \limits _{1}^{\infty }a_nx^n \] für \(| x| <1, \quad \lim \limits _{x\to 1-0}f(x)=s\) und \(n| a_n| \) beschränkt, so gilt \(\sum a_n=s\), durch Zurückführung auf Satz 4 bewiesen. Der einfachere Beweis von Karamata wird ebenfalls angegeben; Verf. bemekrt jedoch, daß diese einfachere Methode im Anwendungsbereich beschränkter ist als die seinige. Schließlich wird gezeigt, daß der Tauber-Littlewoodsche Satz auch unter der schwächeren Voraussetzung \(na_n>-K\) gültig bleibt.
Die drei folgenden Paragraphen behandeln Anwendungen der allgemeinen Tauberschen Sätze auf Probleme der analytischen Zahlentheorie. \(\S 17\) enthält den Beweis des Primzahlsatzes \[ \pi (n)\sim \frac {n}{\log n} \] in der Form \[ \lim \frac {1}{N}\sum \limits _{1}^{N}\varLambda (n)=1 \tag{4} \] (\(\pi (n)\) Anzahl der Primzahlen \(\leqq n\); \(\varLambda (n)=\log p\) wenn \(n\) Potenz der Primzahl \(p\), sonst gleich Null). Es wird zunächst bewiesen, daß (2) gilt mit \[ \begin{gathered} A=1,\quad g(y)=\sum \limits _{1}^{[\exp y]}\frac {\varLambda (n)}{n},\\ K(x)=K_1(x)=e^{-x} \frac {\exp (-2e^{-x})-\exp (-e^{-x})+e^{-x}\exp (-e^{-x})} {(\exp (-e^{-x})-1)^2} \end{gathered} \] und nach Satz 5 daher auch für jedes \(K=K_2\subset M_1\), falls das Nichtvorhandensein reeller Nullstellen der Fouriertransformierten von \(K_1\) bewiesen ist. Bei passender Wahl eines von einer willkürlichen Konstanten \(\varepsilon \) abhängenden \(K=K_2\) kann Verf. nun aus (2) \[ 1+\frac {\varepsilon }{2}>\lim \sup \frac {1}{N} \sum \limits _{1}^{N}\varLambda _n \] schließen; analog erhält er durch passend gewähltes andres \(K_2\) \[ e^{-\varepsilon }\left ( 1+\frac {\varepsilon }{2}\right ) \leqq \lim \inf \frac {1}{N}\sum \varLambda _n, \] so daß (4) folgt. Die noch zu beweisende Tatsache bezüglich der Nullstellen der Fouriertransformierten erweist sich in \(\S 18\) äquivalent damit, daß die Riemannsche \(\zeta \)-Funktion auf der Geraden \(\mathfrak R(\omega )=1\) keine Nullstellen hat, wofür der Beweis erbracht wird. Ein Vergleich der von Verf. zum Beweis des Primzahlsatzes angewendeten Methode mit denen andrer Autoren beschließt diesen Paragraphen. In \(\S 19\) wird ein Satz von Ikehara (An extension of Landau’s theorem in the analytic theory of numbers, Journ. of Math. Massachusetts 10 (1931), 1-12; F. d. M. 57) durch Zurückführung auf Satz 7 bewiesen. Mit Stieltjesschen Integralen geschrieben lautet der Satz: Es sei \(\alpha (x)\) eine monoton wachsende Funktion; es konvergiere \[ \int \limits _{1+0}^{\infty }x^{-u}d\alpha (x)=f(u) \] für \(\mathfrak R(u)>1\), und es konvergiere \[ g(u)=f(u)-\frac {A}{u-1} \] in jedem endlichen Intervall von \(\mathfrak R(u)=1\) gleichmäßig gegen einen endlichen Grenzwert, wenn \(\mathfrak R(u)\to 1+0\). Dann ist \(\alpha (N)\sim NA\) für \(N\to \infty \). Durch Spezialisierung erhält man einen Satz von Landau (1907; F. d. M. 38, 295 (JFM 38.0295.*)-296), wobei sich eine Landausche Voraussetzung \(F(x)=O(| x| ^{\alpha })\) als überflüssig erweist. Ferner wird aus dem Ikeharaschen Satz ein von Hardy und Littlewood herrührender Satz (1918; F. d. M. 46, 498 (JFM 46.0498.*)-499) abgeleitet, wobei sich eine von Hardy und Littlewood gemachte Voraussetzung \(F(x)=O(\exp (c| t| ))\) als überflüssig erweist, wenn man dafür eine bei Hardy und Littlewood auftretende voraussetzung \(\dfrac {\lambda _n}{\lambda _{n-1}}\to 1\) durch die schärfere: \(\lambda _n-\lambda _{n-1}\) beschränkt, ersetzt. Sodann gibt Verf. einen zweiten auf dem Ikeharaschen Satz beruhenden Beweis des Primzahlsatzes und wirft zum Schluß die Frage auf, ob es möglich sei, auch feinere Formen des Primzahlsatzes \[ \pi (n)-\frac {n}{\log n}=O(n^{\alpha }) \qquad (\frac 12<\alpha <1) \] mit seiner Methode zu bewiesen; er glaubt, diese Frage verneinen zu müssen.
\(\S 20\) enthält einige Sätze über den quadratischen Mittelwert einer Funktion; es seien die beiden folgenden angeführt. da sie im weiteren Verlauf des Buches gebraucht werden. Satz 22: Ist \[ \frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^{T}| f(x)| ^2dx \] beschränkt für \(T\to \infty \), so existiert \[ s_1(u)=\underset {A\to \infty } {\text{l. i. m}}\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \left \{ \int \limits _{1}^{A}\frac {f(x)e^{-iux}}{-ix}dx +\int \limits _{-1}^{-A}\frac {f(x)e^{-iux}}{-ix}dx\right \}. \] Setzt man noch \[ s_2(u)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int \limits _{-1}^{1}f(x) \frac {e^{-iux}-1}{ix}dx \] und \(s(u)=s_1(u)+s_2(u)\), so gilt \[ \lim \limits _{T\to \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^{T} | f(x)| ^2dx=\lim \limits _{\varepsilon \to 0} \frac {1}{4\pi \varepsilon }\int \limits _{-\infty }^{\infty } | s(u+\varepsilon )-s(u-\varepsilon )| ^2du \] in dem Sinne, daß entweder beide Limites existieren oder beide nicht existieren. -Im gleichen Sinne gilt Satz 21: Ist \(\varPhi \geqq 0\) \((0\leqq x<\infty )\), so ist \[ \lim \limits _{T\to \infty }\frac {1}{T}\int \limits _{0}^{T} \varPhi (x)dx=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\frac {2}{\pi \varepsilon } \int \limits _{0}^{\infty }\varPhi (x)\frac {\sin ^2\varepsilon x}{x^2}dx. \] Kap. IV trägt die Überschrift “Verallgemeinerte harmonische Analyse”. In \(\S 21\) wird der Begriff des Spektrums einer Funktion \(f(x)\) eingeführt. Ist \(f\) meßbar, so sagt man: \(f\) gehört zu \(S\), wenn \[ \varPhi (x)=\lim \limits _{T\to \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^{T} \bar f(\xi )f(x+\xi )d\xi \] existiert. Ist überdies \(\varPhi (x)\) stetig, so sagt man: \(f\) gehört zu \(S'\). Im Spezialfall \[ f(x)=\sum \limits _{1}^{N}A_je^{i\lambda _jx} \tag{5} \] wird \[ \varPhi (x)=\sum \limits _{j=1}^{N}| A_j| ^2e^{i\lambda _jx}. \tag{6} \] Verf. berechnet zunächst für einige weitere Funktionen \(f\) die zugehörige Funktion \(\varPhi \) und beweist einige Sätze über \(\varPhi \), von denen der folgende genannt sei: Satz 27: Gehört \(f\) zu \(S\), hat \(s(u)\) dieselbe Bedingung wie in Satz 22, und setzt man \[ \varPhi _{\varepsilon }(y)=\frac {1}{4\pi \varepsilon } \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{iuy} | s(u+\varepsilon )-s(u-\varepsilon )| ^2du, \] so gilt: \[ \lim \limits _{\varepsilon \to 0 }\varPhi _{\varepsilon }(y)=\varPhi (y). \] Nunmehr bezeichnet Verf. mit \(\sigma (u)\) diejenige Funktion, die aus \(s(u)\) entsteht, wenn man \(f\) durch \(\varPhi \) ersetzt, und mit \(\sigma _{\varepsilon }(u)\) diejenige, die aus \(\sigma (u)\) entsteht, wenn man \(\varPhi \) durch \(\varPhi _{\varepsilon }\) ersetzt. Unter Benutzung des Fischer-Rieszschen Satzes, des Prinzips \((X_{41})\) und des Satzes 27 ergibt sich nun: \[ \sigma (u)=\text{const}+\underset {\varepsilon \to 0} {\text{l. i. m.}} \frac {1}{2\varepsilon \sqrt {\pi }}\int \limits _{0}^{u} | s(u+\varepsilon )-s(u-\varepsilon )| ^2du. \] Im Spezialfall (5) erweist sich \(\sigma (u)\) als eine Funktion, die bei \(u=\lambda _j\) einen Sprung der Größe \(\sqrt {2\pi }| A_j| ^2\) macht und sonst konstant ist. Die physikalische Interpretation führt daher dazu, \(\sigma (u)\) als Spektrum von \(f\) zu bezeichnen. \(\S 21\) endet mit der Berechnung von \(\sigma \) für einige weitere Funktionen \(f\).
\(\S 22\) beschäftig sich mit einer Gruppe von Sätzen über Spektra von Funktionen der Form \[ \int \limits _{-\infty }^{\infty }K(x-\xi )f(\xi )d\xi \] mit beschränktem \[ \frac {1}{2B}\int \limits _{-B}^{B}| f| ^2dx. \] Erwähnt sei nur das Lemma \(30a\): Ist \(f(x)\subset S\), so ist \(\sigma \) reell und kann als monoton wachsende Funktion definiert werden.
In \(\S 23\) beschäftig sich Verf. näher mit dem Spektrum \(\sigma \). Es seien hier zwei im folgenden gebrauchte Sätze angeführt. Satz 32: Ist \(f(x)\subset S\), ist \(\sigma \) gemäß Lemma 30a definiert, und sind \(u_n\) die Sprünge von \(\sigma \), so ist \[ \lim \limits _{T\to \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^{T} | \varPhi | ^2dx=\frac {1}{2\pi }\sum \{ \sigma (u_n+0)-\sigma (u_n-0)\} ^2. \] Satz 33: Setzt man \[ \varPhi (x)-\sum \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \{ \sigma (u_n+0)-\sigma (u_n-0)\} =\psi (x), \] so gilt unter den gleichen Voraussetzungen wie in Satz 32: \[ \lim \limits _{T\to \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^{T} | \psi (x)| ^2dx=0. \] In \(\S 24\) werden die fastperiodischen Funktionen eingeführt, das von Bohr bewiesene Weierstraßsche und Parsevalsche Theorem für diese Funktionen formuliert und eine Reihe elementarer Eigenschaften bewiesen. \(\S 25\) erbringt zunächst den Beweis des folgenden Lemmas, das als eine Verallgemeinerung von (6) angesehen werden kann: Zu fastperiodischem \(f\) gibt es eine Folge von reellen Zahlen \(\lambda _n\) und von positiven Zahlen \(B_n\) mit konvergenter \(\varSigma B_n\), so daß\^^M \[ \varPhi (x)=\varSigma B_ne^{i\lambda _nx} \] gilt. Dieser Beweis beruht außer auf den Sätzen des \(\S 24\) auf den Sätzen 32 und 33. Unter Benutzung der Sätze aus \(\S 24\) folgt aus diesem Lemma der Weierstraßsche und aus diesem wiederum der Parsevalsche Satz. Eine kurze Diskussion der von andren Autoren für diese beiden Sätze gegebenen Beweise beschließt das Buch. (III 8; IV 3 D, 4.)