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A theorem concerning Fourier transforms. (English) JFM 59.0425.01

\(g(x)\) sei die Fourier-Transformierte von \(f(t)\): \[ g(x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty } e^{-xit}f(t)dt. \] Streben \(f\) und \(g\) beide für \(r\to \pm \infty \) hinreichend stark gegen 0, so sind sie identisch 0. Genauer:
Satz 1. Sind \(f\) und \(g\) beide \(O(| x| ^me^{-\tfrac 12x^2})\) für \(| x| \to \infty \) und ein gewisses \(m\), so ist jede der beiden Funktionen eine endliche Linearverbindung von Hermiteschen Orthogonalfunktionen \[ \varphi _n(x)=e^{-\tfrac 12x^2}H_n(x)= e^{\tfrac 12x^2}\left ( \frac {d}{dx}\right ) ^ne^{-x^2}. \] Satz 2. Sind speziell \(f\) und \(g\) beide \(O\left ( e^{-\tfrac 12x^2}\right )\), so ist \[ f=g=Ae^{-\tfrac 12x^2}; \] ist eine der beiden Funktionen \(o\left ( e^{-\tfrac 12x^2}\right )\), so verschwinden beide identisch.

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