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Sur la valeur des intégrales à l’infini des équations différentielles linéaires. (French) JFM 59.0438.01
Die Koeffizienten des Systems \[ \frac {dX_i}{dt} + \sum ^n_{k=1}a_{ik}(t) X_k = f_i(t)\qquad (i = 1, 2,\dots, n) \] mögen für \(t \geq t_0\) stetig sein und den folgenden Bedingungen für jedes \(\varepsilon > 0\) genügen: \[ \lim _{t\to \infty }a_{ik}(t) = a_{ik},\quad \lim _{t\to \infty }f_i(t)e^{(\lambda - \varepsilon )t} = 0, \] \[ \underset {i=1,\dots,n} {\text{Max}}\limsup _{t\to \infty }|f_i(t)|e^{(\lambda + \varepsilon )t} = \infty. \] Dann wird bewiesen, daß das System ein Integral hat, für welches \[ \lim _{t\to \infty }X_ie^{(\lambda - \varepsilon )t} = 0 \] ist. Die Anzahl der willkürlichen Konstanten ist dabei so groß wie die Anzahl derjenigen charakteristischen Wurzeln, deren reeller Teil \(\leq - \lambda \) ist. Der Beweis wird zuerst für den Fall geführt, daß die \(a_{ik}(t)\) konstant sind, und dann durch sukzessive Approximationen für den allgemeinen Fall.
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Full Text: DOI Numdam EuDML