Sur la valeur des intégrales à l’infini des équations différentielles linéaires. (French) JFM 59.0438.01

Peyovitch, T.

Bulletin S. M. F. 61, 85-94 (1933).

Die Koeffizienten des Systems \[ \frac {dX_i}{dt} + \sum ^n_{k=1}a_{ik}(t) X_k = f_i(t)\qquad (i = 1, 2,\dots, n) \] mögen für \(t \geq t_0\) stetig sein und den folgenden Bedingungen für jedes \(\varepsilon > 0\) genügen: \[ \lim _{t\to \infty }a_{ik}(t) = a_{ik},\quad \lim _{t\to \infty }f_i(t)e^{(\lambda - \varepsilon )t} = 0, \]
\[ \underset {i=1,\dots,n} {\text{Max}}\limsup _{t\to \infty }|f_i(t)|e^{(\lambda + \varepsilon )t} = \infty. \] Dann wird bewiesen, daß das System ein Integral hat, für welches \[ \lim _{t\to \infty }X_ie^{(\lambda - \varepsilon )t} = 0 \] ist. Die Anzahl der willkürlichen Konstanten ist dabei so groß wie die Anzahl derjenigen charakteristischen Wurzeln, deren reeller Teil \(\leq - \lambda \) ist. Der Beweis wird zuerst für den Fall geführt, daß die \(a_{ik}(t)\) konstant sind, und dann durch sukzessive Approximationen für den allgemeinen Fall.

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen.