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Analytic theory of singular difference equations. (English) JFM 59.0450.03

Es handelt sich um ein Differentialgleichungssystem der Gestalt \[ y_i(x+1) = \sum ^n_{j=1} a_{ij}(x) y_j(x)\qquad (i = 1,\dots, n)\tag{1} \] oder in Matrixform \[ Y(x+1) = A(x)Y(x).\tag{1a} \] Die Koeffizienten \(a_{ij}(x)\) sollen sich für große Werte von \(|x|\) nach fallenden Potenzen von \(x\) oder allgemeiner \(x^{\frac {1}{p}}\) entwickeln lassen, wobei auch (endlich viele) positive Exponenten vorkommen dürfen. Statt des Systems (1) kann man auch eine Differenzengleichung \(n\)-ter Ordnung \[ \sum ^n_{\nu = 1} a_{\nu }(x) y(x + n - \nu ) = 0\tag{2} \] betrachten, wo die \(a_{\nu }(x)\) entsprechend beschaffen sind; beide Probleme sind äquivalent. Birkhoff hat früher (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 402) für (1a) die Existenz einer formalen Lösung der Form \[ Y(x) = \left ( e^{Q_j(x)}s_{ij}(x)\right )\tag{3} \] nachgewiesen, wobei jedes \(Q_j(x)\) die Gestalt \[ \mu x \log x + \gamma x + \delta x^{\frac {p-1}{p}} + \cdots + \nu x^{\frac {1}{p}} \] und jedes \(s_{ij}(x)\) die Gestalt \[ x^r\left \{\left ( a + bx^{-\frac {1}{p}} + \cdots \right ) + \left ( a' + b'x^{-\frac {1}{p}} + \cdots \right )\log x + \cdots \right. \]
\[ \left. + \left ( a^{(m)} + b^{(m)}x^{-\frac {1}{p}} + \cdots \right ) (\log x)^m\right \} \] hat (\(p\) ist hier nicht notwendig gleich dem früheren \(p\)). Jetzt handelt es sich um den Nachweis, daß es analytische Lösungen gibt, die in gewissen Gebieten den formalen Lösungen für \(|x|\to \infty \) asymptotisch gleich sind. Dieses Problem ist bisher nur behandelt worden für den Fall, daßkeine Logarithmen auftreten oder daßalle vorkommenden \(p\) gleich 1 sind. Die Verf. behandeln das Problem in voller Allgemeinheit. Dabei spielen die Kurven mit der Gleichung \[ \mathfrak R Q'_i(x) = \mathfrak R Q'_j(x)\tag{4} \] eine wichtige Rolle. In einem sich ins Unendliche erstreckenden Gebiet zwischen zwei solchen Kurven gelten einheitliche Formeln, zu denen man im wesentlichen mit Hilfe der folgenden Sätze gelangt:
Sei zunächst in einem solchen Gebiet \[ \mathfrak R Q'_1(x) \geq \mathfrak R Q'_j(x)\qquad (j = 2, 3,\dots, n). \] Bezeichnet man dann die Martix, die aus (3) hervorgeht, wenn man die in den \(s_{ij}(x)\) enthaltenen Reihen bei der Potenz \(x^{-\frac {k}{p}}\) abbricht, mit \(T(x)\), so streben, falls \(k\) hinreichend groß ist, in der Produktmatrix \[ A(x - 1) A(x - 2) \dots A(x - r) T(x - r) \] die Elemente der ersten Spalte für \(r\to \infty \) gegen Grenwerte, die von \(k\) unabhängig sind, diese stellen eine Lösung von (1) dar und sind asymptotisch gleich den Elementen in der ersten Spalte von (3). Ferner bilden die zweireihigen Determinanten einer Lösungsmatrix von (1a) die Lösungen einer analogen Gleichung \[ Y_2(x + 1) = A_2(x) Y_2(x) \] mit \(\binom {n}{2}\)-reihigen Matrices, wobei die Elemente von \(A_2(x)\) die zweireihigen Determinanten der Matrix \(A(x)\) sind. Auf diese neue Matrixgleichung kann man den vorigen Satz anwenden für ein Gebiet, in dem \[ \mathfrak R \left ( Q'_1(x) + Q'_2(x)\right ) \geq \mathfrak R \left ( Q_i(x) + Q_j(x)\right ) \] für \(i+j > 3\) ist, und gewinnt dadurch Lösungen von (1a), die den Elementen in der zweiten Spalte der Matrix (3) asymptotisch gleich sind. Analog kann man allgemein mit den \(k\)-reihigen Determinanten einer Lösungsmatrix von (1a) verfahren.
So erhält man für jedes der endlich vielen sich ins Unendliche erstreckenden Gebiete, in welche die Ebene durch die Kurven (4) zerfällt, eine Lösung, die asymptotisch gleich der Matrix (3) ist. Eine solche Lösung läßt sich aus ihrem Gebiet über die Trennungskurve in ein Nachbargebiet fortsetzen, geht dann aber im allgemeinen nicht in die zu diesem Nachbargebiet gehörige Lösung über, sondern ergibt sich aus ihr durch rechtsseitige Multiplikation mit einer periodischen Matrix.

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