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Funzioni antiarmoniche in un campo circolare. (Italian) JFM 59.0487.02

Es sei \(\sigma \) die offene Kreisscheibe \(|z| < R\), wobei \(z = x+iy\) ist. Man bezeichnet mit \(\mathfrak S\) die Menge aller reellen, in \(\sigma \) summierbaren Funktionen \(f(z)\), mit \(\mathfrak H\) die Menge aller harmonischen Funktionen aus \(\mathfrak S\) und mit \(\mathfrak A\) die Menge aller antiharmonischen Funktionen; dabei heiße eine in \(\sigma \) beschränkte Funktion aus \(\mathfrak S\) antiharmonisch, wenn sie (bezüglich \(\sigma \)) orthogonal ist zu jeder Funktion aus \(\mathfrak H\). Ziel der Arbeit ist die sozusagen elementare Konstruktion einer Folge \(\mathfrak h = \{ h_{\nu }(z)\}\) von Funktionen aus \(\mathfrak H\) und einer Folge \(\mathfrak a = \{ a_{\mu }(z)\}\) von Funktionen aus \(\mathfrak A\), so daß \(\mathfrak h + \mathfrak a\) ein in \(\mathfrak S\) vollständiges orthogonales System bilden, so daß also insbesondere eine Funktion aus \(\mathfrak S\) dann und nur dann einer Funktion aus \(\mathfrak H\) äquivalent ist, falls sie zu allen Funktionen aus \(\mathfrak a\) orthogonal ist. Verf. geht aus von der Folge \(\mathfrak h\) der Funktionen, welche geliefert werden durch Real- und Imaginärteil von \(c_{\nu }z^{\nu } \;(\nu = 0, 1,\dots )\); der Normierungsfaktor \(c_{\nu }\) ist: \[ c_{\nu } = \frac {1}{R^{\nu +1}}\sqrt {\frac {2(\nu + 1)}{\pi }}. \] Als ein System \(\mathfrak a\) ergeben sich dann die Real- und Imaginärteil von \[ \sqrt {\frac {\nu + 2}{2\pi }} \frac {\nu + 1}{R} F\left ( -\nu, \nu + 2; 2; \frac {|z|}{R}\right ) \] und von \[ \sqrt {\frac {2m+\nu +2}{\pi }} \binom {2m + \nu + 1}{\nu } \frac {z^n}{R^{m+1}} F\left ( -\nu, 2m+\nu +2; 2m+2; \frac {|z|}{R}\right ) \] dabei bezeichnen die \(F(\alpha, \beta ; \gamma ; \zeta )\) hypergeometrische Polynome in \(\zeta \).
Den Schluß bilden Bemerkungen über die entsprechenden Sätze für quadratisch summierbare Funktionen.
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Full Text: Numdam EuDML