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Sufficient conditions for a problem of Mayer in the calculus of variations. (English) JFM 59.0497.02
Verf. betrachtet folgende Verallgemeinerung des Mayerschen Problems:
Gegeben die Differentialgleichungen \[ \Phi _{\alpha }(x, y_1,\dots, y_n; y'_1,\dots, y'_n) \equiv \Phi _{\alpha }(x, y, y') = 0\quad (\alpha = 1, 2,\dots, m < n)\tag{1} \] und die Nebenbedingungen: \[ \Psi _{\mu }(x_1, y(x_1); x_2, y(x_2)) = 0\quad (\mu = 1,\dots, 2n, 2n+1).\tag{2} \] Gesucht sind \(n\) Funktionen \(y_{\nu }(x)\) und die Werte \(x_1, x_2\), so daß (1) und (2) erfüllt sind und \(g(x_1, y(x_1); x_2, y(x_2))\) ein Minimum wird, wobei \(g(x_1, y_1; x_2, y_2)\) eine gegebene Funktion ist. Zunächst gilt für die Lösung die Multiplikatorregel: Es gibt Multiplikatoren \(\lambda _{\alpha }(x)\) und Konstanten \(c_i\), so daß, \(F = \sum ^{2n+1}_{\alpha =1} \lambda _{\alpha }(x)\Phi _{\alpha }\) gesetzt, \[ F_{y'_i} = \int ^x_{x_1} F_{y_i} dx + c_i,\;\Phi _{\alpha } = 0 \] \((i = 1,\dots, n; \alpha = 1,\dots, 2n+1)\) ist. Es werden “nicht singuläre” Extremalen eingeführt als solche Lösungen der Eulerschen Gleichungen \[ \frac {d}{dx}F_{y'_i} - F_{y_i} = 0,,\;\Phi _{\alpha } = 0, \] für welche \(y'_i, y''_i\) und \(\lambda '_{\alpha }\) stetig sind, und die der Determinante \[ \begin{vmatrix} F_{y'_iy'_k} & \Phi _{\alpha y'_i} \\ \Phi _{\beta y'_k} & 0\end{vmatrix} \] einen durchweg von Null verschiedenen Wert erteilen. Jeder nicht singuläre Extremalenbogen ist Glied einer \((2n-1)\)-parametrigen Extremalenfamilie. Eine zulässige Vergleichskurve heißt “normal” bezüglich der Nebenbedingungen \(\Psi _{\varrho } = 0\), wenn es dazu \(2n+1\) Folgen von zulässigen Variationen \(\xi ^{(\sigma )}_1, \xi ^{(\sigma )}_2, \eta ^{(\sigma )}_i(x)\) derart gibt, daß die Determinante \[ \left |\left ( \Psi _{\varrho x_1} + \sum ^n_{i=1} y'_{i1}\Psi _{\varrho y_{i1}}\right ) \xi _1 + \sum ^n_{i=1} \Psi _{\varrho y_{i1}} \eta _{i1}\right. \]
\[ \quad \quad \left. + \left ( \Psi _{\varrho x_2} + \sum ^n_{i=1} y'_{i2}\Psi _{\varrho y_{i2}}\right ) \xi _2 + \sum ^n_{i=1} \Psi _{\varrho y_{i2}}\eta _{i2}\right | \] von Null verschieden ausfällt. Längs einer normalen Extremalen, die \(\Psi _{\varrho } = 0\) erfüllt, hat die zweite Variation für alle zulässigen Variationen \(\xi _1, \xi _2, \eta _i(x)\) mit \(\Psi _{\varrho } = 0\) die Form \[ I_2 = \int ^{x_2}_{x_1} 2\omega (x, \eta, \eta ') dx, \] wenn \[ 2\omega = \sum ^n_{i,k=1} (F_{y_iy_k}\eta _i\eta k + F_{y_iy'_k}\eta _i\eta '_k + F_{y'_iy'_k}\eta '_i\eta '_k) \] gesetzt ist. Notwendig für das Minimum ist \(I_2 \geq 0\) für alle zulässigen \(\eta _i\) \((\eta _i(x_1) = \eta _i(x_2) = 0)\). Mit \[ \chi _{\alpha } = \sum ^n_{i=1} (\Phi _{\alpha y_i}\eta _i + \Phi _{\alpha y'_i}\eta '_i), \quad \Omega = \mu _0\omega + \sum ^{2n+1}_{\alpha = 1} \mu _{\alpha }\chi _{\alpha } \] lauten die Analoga zur Jacobischen Differentialgleichung: \[ \frac {d}{dx}\Omega _{\eta '_i} - \Omega _{\eta _i} = 0, \quad \chi _{\alpha } = 0. \]
Auf Grund hiervor kann die auf dem konjugierten Punkt beruhende notwendige Bedingung übertragen werden.
Der Begriff des Folders \(\mathfrak F\) wird mit Hilfe des Hilbertschen unabhängigen Integrals wie folgt eingeführt. \(\mathfrak F\) ist ein nur aus inneren Punkten des \((x, y,_1,\dots, y_n)\)-Raumes bestehendes Gebiet, derart, daß in jedem Punkt die \(3n+1\) Funktionen \(p_i(x, y)\) \((i = 1, 2,\dots, n)\), \(\lambda _{\alpha }(x, y)\) \((\alpha = 1,\dots, 2n+1)\) erklärt sind mit den Eigenschaften:
(1) Sie besitzen stetige partielle erste Ableitungen.
(2) Die Wertetripel \([x, y, y' = p(x, y)]\) sind zulässig (d. h. sie erfühlen \(\Phi _{\alpha } = 0\)).
(3) Das Integral \[ I^* = \int \{ F(x, y, p) + \sum ^n_{i=1} (y'_i - p_i(x, y)) F_{y'_i}(x, y, p)\} dx \] ist in \(\mathfrak F\) vom Weg unabhängig.
In \(\mathfrak F\) kann dann wie üblich die Weierstraßsche Integraltransformation vorgenommen werden, und es ergibt sich die hinreichende Bedingung: \(E_{12}\) sei ein normaler Extremalenbogen in \(\mathfrak F\). \(E_{12}\) erfülle \(\Psi _{\varrho } = 0\) \((\varrho = 1, 2,\dots, 2n+1)\), und es gebe eine Umgebung \(N\) von \((x_1, y_1)\); \((x_2, y_2)\), so daß\^^Mkeine weitere Extremale mit \(\Psi _{\varrho } = 0\) in \(N\) endigt. Wenn in jedem Punkt von \(\mathfrak F\) \[ E = F(x, y, y') - F(x, y, p) - \sum ^n_{i=1} (y'_i - p_i)F_{y'_i}(x, y, p) > 0 \] ausfällt, so kann \(N\) so eingeschränkt werden, daß \(E_{12}\) unter allen in \(N\) endigenden zulässigen Konkurrenzfunktionen ein Minimum liefert.
Es folgen Untersuchungen darüber, wann sich eine Extremale \(E_{12}\) in ein Feld einbetten läßt. Dies ist, wenn die notwendigen Bedingungen erfüllt sind, dann der Fall, wenn \(E_{12}\) in jedem Teilintervall \(\langle x_1, x_3\rangle \) von \(\langle x_1, x_2\rangle \) normal ist.
Die Beweise werden im Prinzip nach den bei Variationsproblemen mit Nebenbedingungen üblichen Methoden geführt.
Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.
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