×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sul procedimento di arrotondamento di Schwarz. (Italian) JFM 59.0499.03
Über die “Verkreisung” von H. A. Schwarz wird das folgendes sehr allgemeine Ergebnis bewiesen:
\(\psi (z)\) sei für \(z \geq 0\) nicht negativ sowie mit einer ersten Ableitung stetig und abnehmend.
\(f(x, y)\) sei in der abgeschlossenen Hülle eines offenen beschränkten Bereiches \(D\) stetig, in \(D\) selbst absolut stetig, ferner sei in \(D f(x, y) \geq 0\), auf dem Rand von \(D f=0\), und es existiere das Integral \[ \iint _D \psi \left (\sqrt {p^2 + q^2}\right ) dx dy\quad \left ( p = \frac {\partial z}{\partial x}, q = \frac {\partial z}{\partial y}\right ). \] Dann wird bei der Schwarzschen Verkreisung (mit der \(z\)-Achse als Drehachse) der Wert dieses Integrals nicht vergrößert.
Falls \(\psi \) beständig wächst und \(f(x, y) \equiv 0\) ausgeschlossen wird, behauptet Verf., daß sich das Integral bei der Verkreisung verkleinert, wenn \(z = f(x, y)\) durch Translation aus der “verkreisten” Fläche entsteht. Wie aus dem Beweise und aus der nachstehend besprochenen Note hervorgeht, wird aber nur bewiesen, daß das Integral nur dann sicher kleiner wird, wenn nicht alle Schnitte von \(z = f(x, y)\) mit den Ebenen \(z = \) const Kreise sind.
Subjects:
Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML