Sul procedimento di arrotondamento di Schwarz. (Italian) JFM 59.0499.03

del Chiaro, A.

Annali Pisa (2) 2, 211-226 (1933).

Über die “Verkreisung” von H. A. Schwarz wird das folgendes sehr allgemeine Ergebnis bewiesen:
\(\psi (z)\) sei für \(z \geq 0\) nicht negativ sowie mit einer ersten Ableitung stetig und abnehmend.
\(f(x, y)\) sei in der abgeschlossenen Hülle eines offenen beschränkten Bereiches \(D\) stetig, in \(D\) selbst absolut stetig, ferner sei in \(D f(x, y) \geq 0\), auf dem Rand von \(D f=0\), und es existiere das Integral \[ \iint _D \psi \left (\sqrt {p^2 + q^2}\right ) dx dy\quad \left ( p = \frac {\partial z}{\partial x}, q = \frac {\partial z}{\partial y}\right ). \] Dann wird bei der Schwarzschen Verkreisung (mit der \(z\)-Achse als Drehachse) der Wert dieses Integrals nicht vergrößert.
Falls \(\psi \) beständig wächst und \(f(x, y) \equiv 0\) ausgeschlossen wird, behauptet Verf., daßsich das Integral bei der Verkreisung verkleinert, wenn \(z = f(x, y)\) durch Translation aus der “verkreisten” Fläche entsteht. Wie aus dem Beweise und aus der nachstehend besprochenen Note hervorgeht, wird aber nur bewiesen, daßdas Integral nur dann sicher kleiner wird, wenn nicht alle Schnitte von \(z = f(x, y)\) mit den Ebenen \(z = \) const Kreise sind.

Reviewer: Radon, J., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.