L’estremo assoluto degli integrali doppi. (Italian) JFM 59.0500.02

Tonelli, L.

Annali Pisa (2) 2, 89-130 (1933).

Ziel dieser groß angelegten und in allen Einzelheiten präzis durchgeführten Arbeit ist die Gewinnung von Existenzsätzen für das Minimum von Doppelintegralen der Form: \[ J_D = \iint _D F(x, y, z, p, q) dx dy. \]
Zunächst werden die Ränder der Integrationsbereiche \(D\) geeigneten Voraussetzungen unterworfen; der Kürze halber seien diese im folgenden übergangen, und es sei hier nur angemerkt, daß diese reichlich erfüllt sind, wenn \(D\) von einer endlichen Anzahl glatter Kurvenbogen begrenzt wird, die unter von Null verschiedenen Winkeln zusammenstoßen. Dann wird über Funktionen, die in \(D\) absolut stetig sind, folgendes bewiesen: Aus der Existenz zweier positiver Zahlen \(\alpha \) und \(A\), derart, daß für eine Menge \(\{ f(x, y)\}\) in \(D\) absolut stetiger Funktionen stets \[ \iint _D \left ( |p|^{1+\alpha } + |q|^{1+\alpha }\right ) dx dy \leq A \] gilt, folgt die absolute Stetigkeit aller Häufungsfunktionen (im Sinn gleimäßiger Konvergenz) der Menge \(\{ f(x, y)\}\) in \(D\).
Hierauf wird ein “Nivellierungsprozeß” beschrieben, der den Zweck hat, absolut stetige Funktionen durch solche zu ersetzen, die sozusagen näherungsweise monoton (im Sinn von Lebesgue) sind.
Es folgen dann eine Reihe verschiedener Kriterien für die gleichgradige Stetigkeit einer in \(D\) definierten Funktionenmenge, von denen als Beispiel das folgende genannt sei:
\(\{ f(x, y)\}\) sei eine Menge in \(D\) (offen und beschränkt) absolut stetiger Funktionen, und es gebe zwei positive Zahlen \(A\) und \(\alpha \), so daß für alle Funktionen von \(\{ f(x, y)\}\) die Ungleichung gilt: \[ \iint _D \left ( |p|^{2+\alpha } + |q|^{2+\alpha }\right ) dx dy \leq A. \] Dann sind die Funktionen der Menge in \(D\) gleichgradig stetig.
Von Lebesgue wurde ein ähnliches Kriterium mit \(\alpha = 0\) angegeben; dabei müssen aber die Funktionen \(f(x, y)\) als monoton vorausgesetzt werden. Verf. gibt eine Verallgemeinerung, bei der allerdings nur eine Funktionenfolge \(f_n(x, y)\) betrachtet wird. Statt der Monotonie tritt die Forderung ein, daß \(f_n\) eine “bis auf \(\frac {1}{n}\) nivellierte” Funktion sei (seihe oben).
Nachdem dann noch Halbstetigkeitskriterien hergeleitet sind, gelingt die Aufstellung von acht verschieden weit tragenden Existenzsätzen für ein Minimum des Integrals \(J_D\). Unter einer bezüglich \(J_D\) in \(D\) vollständigen Funktionenmenge \(\{ f(x, y)\}\) sei eine solche verstanden, daß jedes \(f\) absolut stetig in \(D\) ist, für jedes \(f\) das Integral \(J_D\) existiert und alle Häufungsfunktionen der Menge, welche absolut stetig sind, und für die \(J_D\) existiert, ebenfalls zur Menge gehören. Z. B. bilden alle in \(D\) absolut stetigen, auf seiner abgeschossenen Hülle stetigen \(f\), die auf dem Rand von \(D\) feste Werte annehmen, und für die \(J_D\) existiert, eine vollständige Menge.
Die Existenzsätze selbst zerfallen in drei Gruppen. Aus den ersten beiden folgt hier je ein Beispiel:
(a) \(J_D\) sei quasi-regulär positiv (die Weierstraß-Bedingung \(\mathcal E \geq 0\) gilt ausnahmslos); ferner existieren drei Zahlen \(\alpha > 0, \mu > 0, N\), so daß in allen Punkten von \(D\) und für alle endlichen \(z, p, q\) \[ F(x, y, z, p, q) > \mu \{ |p|^{2+\alpha } + |q|^{2+\alpha }\} + N \] gilt. Die Funktionen einer vollständigen Menge bezüglich \(J_D\) seien auf dem Rand von \(D\) gleichmäßig beschränkt. Dann existiert innerhalb der Menge das absolute Minimum von \(J_D\).
Die Sätze der zweiren Gruppe haben in der obenstehenden Bedingung \(\alpha = 0\); dafür muß dann die Klasse der Konkurrenzfunktionen eingeschränk werden, wobei wieder der Nivellierungsprozeß eingreift, und zwar in der Weise, daß in der Klasse zu jeder Funktion auch die bis auf \(\frac {1}{n}\) nivellierte Funktion (für alle \(n\)) auftreten muß. Ein spezielleres Resultat ist das Kriterium:
(b) \(J_D\) sei quasi-regulär positiv und \[ F(x, y, z, p, q) > \mu (p^2 + q^2) + N. \] Es existiere ferner \(F_z\), und es gebe eine in der abgeschlossenen Hülle von \(D\) mit ersten Ableitungen stetige Funktion \(\varphi (x, y)\), so daß für alle \(z, p, q\) und in ganz \(D\) gilt: \[ F\left ( x, y, z, \frac {\partial \varphi }{\partial x}, \frac {\partial \varphi }{\partial y}\right ) \leq F(x, y, z, p, q), \quad F_z\left ( x, y, z, \frac {\partial \varphi }{\partial x}, \frac {\partial \varphi }{\partial y}\right ) = 0. \] Dann existiert das absolute Minimum von \(J_D\) in der Klasse aller Funktionen, die in \(D\) absolut stetig, in seiner abgeschlossenen Hülle atetig sind, auf dem Rand von \(D\) gegebene Werte annhmen, und für die das Integral \(J_D\) existiert.
Die dritte Gruppe von Existenzsätzen gestattet, kurz gesagt, aus dem Vorhandensein des Minimums “im Kleinen” auf das Minimum “im Großen” zu schließen.

Reviewer: Radon, J., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.