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On some joint-life annuities. (English) JFM 59.0526.01
Aktuárské Vědy 4, 97-102 (1933).
Der Barwert einer einseitigen, kontinuierlichen Überlebensrente bei zwei Leben ist in der üblichen Schreibweise \[ \bar a_{x|y} = \int ^{\infty }_0 \mu _{x+t} \bar a_{y+t} \exp \left \{ -\int ^t_0 (\mu _{x+u} + \mu _{y+u} + \delta ) du\right \} dt. \] Verf. wendet hierauf den Mittelwertsatz der Integralrechnung an und erhält \[ \bar a_{x|y} = \mu _{x+n} \bar a_{y+n} \int ^{\infty }_0 \exp \left \{ -\int ^t_0 (\mu _{x+n} + \mu _{y+n} + \delta ) du\right \} dt = \mu _{x+n} \bar a_{y+n} \bar a_{x,y}. \] Die zweiseitige Überlebensrente wird dann \[ \bar a_{\overline {xy}} = (1 + \mu _{x+n} \bar a_{y+n} + \mu _{y+n} \bar a_{x+n})\bar a_{x, y}. \] Hierbei läßt sich \(n\) aus der Formel \[ \mu _{x+n} \bar a_{y+n} = \frac {\bar a_y}{\bar a_{xy}} - 1 \] bestimmen. - Verf. zeigt noch, daß sich diese Methode auf Renten für beliebig viele verbundene Leben anwenden läßt.