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Congruences stratifiables paraboliques. (French) JFM 59.0677.04
Nach einem Vorbericht über verschiedene Untersuchungen stratifiabler Kongruenzen bemerkt Verf. einleitend: Ist eine der Kongruenzen eines stratifiablen Paars parabolisch, so gilt dies auch für die andere, und beide gehören zu einer sehr speziellen Klasse von Strahlsystemen, welche man \(R_0\)-Kongruenzen nennen kann. Die Brennfläche einer solchen Kongruenz erscheint als Grenzfall der sogenannten \(R\)-Flächen von Tzitzéica-Demoulin, welche die einzigen projektiv deformierbaren Flächen sind, deren deformationsinvariantes Netz in eine Asymptotenkurvenschar ausartet. Sie lassen sich durch die Eigenschaft charakterisieren, daß ein Koeffizient des Fubinischen projektivinvarianten Bogenelements - und zwar \(\beta \), wenn die erwähnten Asymptotenlinien durch \(v=\) const gegeben sind -, durch eine geeignete Parametertransformation mit “Eins” normiert werden kann. Die Tangentenkongruenz \(C\) einer solchen Asymptotenlinienschar ist (umgekehrt) immer eine parabolische stratifiable Kongruenz, welcher Art immer auch die Fläche \(S\) innerhalb der Klasse \(R_0\) sei. Die zugehörige Kongruenz \(C_1\) (welche mit \(C\) zusammen das stratifiable Paar bildet) ist durch ein vollständig integrables System bis auf fünf willkürliche Konstanten bestimmt. Ist dann \(S_1\) die Brennfläche der (parabolischen) Kongruenz \(C_1\), so entsprechen die Asymptotenlinien von \(S\) und \(S_1\), einander. Das Strahlsystem \(K\), Ort aller gemeinsamen Verbindungstangenten homologer Punkte von \(S\) und \(S_1\), ist ein \(W\)-Strahlsystem. Das Strahlsystem \(K\) vermittelt eine asymptotische Transformation der \(R\)-Flächen.
Wie E. Cech bemerkt, kann die von Verf. hier erwähnte asymptotische Transformation als Grenzfall der von Jonas in die Theorie eingeführten asymptotischen Transformationen der \(R\)-Flächen aufgefaßt werden. Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit ohne Beweisführung hat Verf. bereits in der Note “Congruences paraboliques stratifiables; transformations des surfaces \(R_0\)” (C. R. 193 (1931), 812-814; F. d. M. 57) veröffentlicht. Die dort fehlenden Beweise werden hier nachgetragen.
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