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Géométrie conforme des congruences de courbes. (French) JFM 59.0705.01
Die Einführung pentasphärischer Koordinaten hat bekanntlich den Zweck, die Geometrie der Kreise und Kugeln des dreidimensionalen Raumes zu “linearisieren”. Die konforme oder anallagmatische Geometrie des Raumes erscheint dann auf das Studium invarianter Bildungen pentasphärischer Vektoren, im wesentlichen also auf “sphärische” Skalarprodukte zurückgeführt. Dazu kommt bei differentialgeometrischen Fragestellungen naturgemäß die Aufstellung von Ableitungsgleichungen im pentasphärischen Fünfbein. In dieser Weise beginnt Verf. den Aufbau der anallagmatischen Differentialgeometrie von Kurvenkongruenzen. Mit Hilfe von von É. Cartan (1924; F. d. M. 50, 493 (JFM 50.0493.*)-494) in die konforme Geometrie eingeführten Methoden gelingt es Verf., das die Kongruenz begleitende Bezugssystem, das im allgemeinsten Falle von zehn Parametern abhängt, soweit zu spezialisieren, daß nur noch die den Anfangspunkt festlegenden Koordinatenwerte freibleiben. Die Koeffizienten der Übertragung für ein derart spezialisiertes begleitendes Bezugssystem setzen dann unmittelbar die die Kurvenkongruenz charakterisierenden Invarianten in Evidenz. Diese Invarianten werden schließlich noch durch die Integrabilitätsbedingungen der Übertragung näher determiniert. Nach der allgemeinen Theorie werden nach denselben Methoden spezielle Kongruenzen, insbesondere Normalkongruenzen, orthoptische Kongruenzen (zwei Orthogonalflächenfamilien enthaltend) und dreifach orthogonale Systeme behandelt. Alle Resultate lassen stets auch bewegungsinvariante Deutungen zu, sofern die Konforminvarianten dieser Theorie natürlich auch in der engeren Gruppe ihren Charakter behalten. Die bisher verwendete Methode versagt im Falle isotroper Kongruenzen. Hier bedarf es zunächst eines neuen geeignet definierten Begleitsystems, mit dessen Hilfe sich auch hier wieder weitere Spezialfälle (isotrope Kreiskongruenzen, parataktische Kongruenzen, isotrope Normalkongruenzen) behandeln lassen. Verf. schließt seine Ausführungen mit einem Hinwies auf einige typische weitere Probleme aus diesem Ideenkreis. Ein genaueres Studium dieser Arbeit setzt vor allem die Kenntnis des im wesentlichen vom Verf., zum Teil auch von É. Cartan herrührenden formalen Apparates voraus (vgl. die Arbeiten des Verf. in Rendiconti Palermo 56 (1932); 289-320, 321-351; Journ. de Math. (9) 11 (1932), 209-253; F. d. M. 58).
Citations:
JFM 50.0493.*
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Full Text: DOI Numdam EuDML