On the periodic motions near a given periodic motion of a dynamical system. (English) JFM 59.0733.05

Birkhoff, G. D.; Lewis, D. C.

Annali di Mat. (4) 12, 117-133 (1933).

Von einem kanonischen System sei eine periodische Bewegung bekannt. Die Frage, ob es in der Nähe weitere periodische Lösungen gibt, hängt dann von der Existenz einer Mannigfaltigkeit \(n\)-ter Dimension ab, für die alle \(p^2_i + q^2_i\) eindeutige, periodische, reguläre Funktionen der Polarwinkel sind, und für die gilt, daß ein auf ihr gelegener Ausgangspunkt nach \(m\) Umläufen sein Argument um ein ganzzahliges Vielfaches von \(2\pi \) vermehrt. Unter der Amiahme, daß das Gleichungssystem von stabilem Typus und einer gewissen Allgemeinheit ist, und daß. ein in den Gleichungen vorkommender Koeffizient \(\mu \), der die Ordnung der auf die Hauptglieder folgenden Glieder angibt, groß genug ist, wird die Existenz der in Rede stehenden Mannigfaltigkeiten bewiesen. Es gibt sogar unendlich viele solcher Mannigfaltigkeiten, nämlich noch für beliebig kleine Entfernungen von der Ausgangslösung. Weitere wichtige Abschätzungen vervollständigen die Untersuchung.

Reviewer: Hamel, G., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Sechster Abschnitt. Mechanik. Kapitel 3. Statik und Dynamik.

References:

[1]	A critical point is a point for whichdJ=0; these are to be counted with their proper multiplicity. The existence of two critical points – maximum and minimum – is obvious. An easy method of establishing the existence of 2 n – 2 other critical points is to applyM. Morse’s critical point relations (see, for instance, his paper,Relations between the Critical Points of a Real Function of nReal Variables, “ Trans. Am. Math. Soc. {”, vol. 27 (1925), pp. 345–356) to then dimensional torus for which the connectivity numbers (mod 2) are the binomial coefficients.}
[2]	Cf.G. D. Birkhoff,Dynamical Systems, Chapter III, particularly § 9. Also Chapter VI, § 1.
[3]	Êmile Borel,Leçons sur la théorie de la croissance, p. 149.