Criteria for the irreducibility of polynomials. (English) JFM 59.0906.03

Dorwart, H. L.; Ore, O.

Annals of Math. (2) 34, 81-94 (1934).

Es werden Irreduzibilitätskriterien für ganzzahlige Polynome hergeleitet, bei denen arithmetische Eigenschaften der Werte eine Rolle spielen, die Polynom in ganzzahlige Stellen annimmt. Er wird u. a. gezeigt: Nimmt ein ganzzahliges Polynom \(f(x)\) vom Grad \(n\) den Wert \(1\) an \(m>4\) ganzzahligen Stellen an, so besitzt es im Körper der rationalen Zahlen nur irreduzible Faktoren vom Grad \(\geq m\). Insbesondere ist \(f(x)\) irreduzibel, wenn \(m>n/2\) ist. Dieser Satz beruht darauf, daß ein ganzzahliges Polynom, das an vier ganzzahligen Stellen den Wert \(+1\) besitzt, an allen ganzzahligen Stellen von \(-1\) verschieden ist. - Ein ganzzahliges Polynom, das die Werte \(\pm 1\), \(\pm p\), (\(p\) Primzahl) an zusammen \(m>10\) ganzzahligen Stellen annimmt, hat im Körper der rationalen Zahlen keine irreduziblen Faktoren von kleinerem Grad als \(m/2\). Die Methoden lassen sich auf den Fall übertragen, daß der Grundkörper ein imaginär-quadratischer Körper ist.
Man vergleiche ferner die gleichzeitig entstandene Arbeit von A. Brauer (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), \(125\)), mit der zahlreiche Berührungen bestehen.

Reviewer: Brauer, R., Prof. (Toronto)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 3. Theorie der algebraischen Gleichungen und der Polynome