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Über einen Satz von Laguerre. (German) JFM 59.0910.02
Der Satz von Laguerre (1878; F. d. M. 10, 59 (JFM 10.0059.*)-60): Ist \(f(x)\) ein Polynom höchstens \(n\)-ten Grades und ist \(\xi \) eine beliebige Stelle der komplexen \(x\)-Ebene, für die \(f(\xi )f'(\xi )\neq 0\) ist, so liegt im Innern oder am Rand eines jeden Kreises durch die beiden Punkte \(\xi \) und \(\xi - n \frac {f(\xi )}{f'(\xi )}\) mindestens eine Nullstelle von \(f(x)\); liegen nicht alle Nullstellen von \(f(x)\) auf dem Rande eines solchen Kreises, so gehören auch seinem Äußern Nullstellen von \(f(x)\) an, wurde von L. Fejér (1917; F. d. M. 46, 125 (JFM 46.0125.*)) in einer schärferen Form ausgesprochen. Verf. gibt hier eine weitere Verschärfung: Es sei \(f(x)\) ein Polynom, es sei \(\xi \) eine beliebige Stelle der \(x\)-Ebene, für die \(f(\xi )f'(\xi )\neq 0\) ist, und es sei \(g\) eine beliebige Gerade durch den Punkt \(\xi \). Enthält die den Punkt \(\xi - \frac {f(\xi )}{f'(\xi )}\) enthaltende und von \(g\) berandete Halbebene höchstens \(p\) Nullstellen von \(f(x)\) in einem Innern, so liegt mindestens eine Nullstelle im Innern oder am Rande des Kreises, der durch die beiden Punkte \(\xi \) und \(\xi - p\frac {f(\xi )}{f'(\xi )}\) hindurchgeht und im Punkte \(\xi \) die Tangente \(g\) hat. Enthält der Rand dieses Kreises alle Nullstellen von \(f(x)\), die im Innern der angenommenen Halbebene liegen, so hat das Polynom \(p\) Nullstellen auf dem Rande des Kreises; die übrigen Nullstellen von \(f(x)\) liegen alle auf der Geraden \(g\).
Verf. beweist anschließend eine Reihe von Sätzen, die Verallgemeinerungen des Laguerreschen Satzes darstellen end zahlreiche Anwendungen zulassen. Aus diesen Sätzen greift Ref. einen sehr allgemeiner Art heraus:
Ist \(f(x)\) ein Polynom höchstens \(n\)-ten Grades und \(\xi \) eine beliebige Stelle der komplexen \(x\)-Ebene, für die \(f(\xi )\) und \(F(\xi )=-\frac {1}{(q-1)!} \bigl [\frac {f'(\xi )}{f(\xi )}\bigr ]^{(q-1)}\) von Null verschieden sind, so liegen mindestens eine Nullstelle von \(f(x)\) im Innern oder am Rande der \(q\) Ovale der Sinusspirale vom Index \(q\), die im Punkte \(\xi \) den Mittelpunkt hat und die durch \(q\) Punkte \(\xi + e^{\frac {2k\pi }{q}}\bigl [\frac {n}{F(\xi )}\bigr ]^{\frac {1}{q}}\) \((k=0,1,\dots,q-1)\) hindurchgeht. Liegen nicht alle Nullstellen von \(f(x)\) auf dem Rande oder \(q\) Ovale, so hat \(f(x)\) Nullstellen innerhalb und auch außerhalb der Ovale. (Sinusspirale vom Index \(q\) nennt man eine Kurve mit der Gleichung \(\varrho ^q = a^q \cos q\varphi \) in Polarkoordinaten.)
Hieraus ergeben sich beispielsweise die Sätze: Ist \(a_0(a_1^2-2a_0a_2)\neq 0\), so liegt mindestens eine Wurzel der Gleichung \(a_0 + a_1x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n = 0\) im Innern oder am rand einer jeden Bernoullischen Lemniskate, die durch die Punkte \(\pm \sqrt {\frac {na_0^2}{a_1^2-2a_0a_2}}\) geht und den Doppelpunkt \(x=0\) hat. Liegt keine Wurzel der Gleichung im Innern einer solchen Lemniskate, so liegen alle Wurzeln der Gleichung auf ihr.
Die Gleichung \(1+ e^{i\gamma }x^q + a_{q+1} x^{q+1} + \dots + a_n x^n = 0\), mit beliebigem \(\gamma \), hat mindestens eine Wurzel im Kreise \(|x|=\root q \of {\frac {n}{q}}\).
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Full Text: DOI Crelle EuDML