×

zbMATH — the first resource for mathematics

Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper. Insbesondere Begründung der Theorie des Normenrestsymbols und Herleitung des Reziprozitätsgesetzes mit nichtkommutativen Hilfsmitteln. (German) JFM 59.0942.01
In dieser Arbeit wird die genaue Struktur der Gruppe der Algebrenklassen über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) bestimmt. Gleichzeitig wird die Theorie des Normenrestsymbols mit nichtkommutativen in überraschend einfacher Weise aufgebaut und schließlich das Artinsche Reziprozitätsgesetz abgeleitet. Das einzig tiefliegende Hilfsmittel aus der Klassenkörpertheorie, das verwendet wird, ist der Normensatz. Dazu tritt beim Beweis des Artinschen Reziprozitätsgesetzes noch der Frobeniussche Dichtigkeitssatz und die fundamentale Ungleichung zwischen dem Grad eines relativ Galoisschen Körpers über \(k\) und der Klassenzahl der zugeordneten Idealklasseneinteilung in \(k\). Ein weiterer Hilfssatz ist inzwischen elementar von van der Waerden (1934; JFM 60.0118.*) bewiesen worden.
Im einleitenden ersten Abschnitt wird ein Überblick über die Tatsachen der algebraischen Theorie der hyperkomplexen Größen gegeben, die im folgenden verwemdet werden. Hervorgehoben sei ein neuer Beweis für den Satz, der das Verhalten des Faktorensystems einer Algebrenklasse bei Übergang von einem Zerfällungskörper zu einem umfassenderen ausdrückt. Darauf werden die einfachen normalen Algebren über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) zunächst im Kleinen untersucht. Die Grundlage bildet die Arbeit des Verf. in den Math. Ann. 104 (1931), 495-534 (JFM 57.0157.*-158). Ist \(\mathfrak p\) ein Primideal von \(k\) und \(k_{\mathfrak p}\) die \(\mathfrak p\)-adische Erweiterung von \(k\), so gibt es zu jedem Grad \(m_{\mathfrak p}\) nur einen über \(k_{\mathfrak p}\) unverzweigten Körper \(W^{\mathfrak p}\) vom Grad \(m_{\mathfrak p}\), den Körper der \((N({\mathfrak p})^{m\mathfrak p} -1\)-ten Einheitswurzeln. Als Erzeugende der zyklischen galoisschen Gruppe von \(W^{\mathfrak p}\) über \(k_{\mathfrak p}\) kann der Frobenius-Artin-Automorphismus \(F_{\mathfrak p}\) von \(W^{\mathfrak p}\) gewählt werden.
Ist jetzt \(\mathfrak A_{\mathfrak p}\) eine normale einfache Algebrenklasse vom Index \(m_{\mathfrak p}\), so läßt sich die zu \(\mathfrak A_{\mathfrak p}\) gehörende Divisionsalgebra \(D^{\mathfrak p}\) mit Hilfe von \(W^{\mathfrak p}\) als Zerfällungskörper zyklisch darstellen: \[ D^{\mathfrak p} = (\alpha _{\mathfrak p}, W^{\mathfrak p}, F_{\mathfrak p}). \] Hier sei die Zahl \(\alpha _{\mathfrak p}\) genau durch \({\mathfrak p}\) in der Potenz \(\mu _{\mathfrak p}\) teilbar. Dann werde als \({\mathfrak p}\)-Invariante \(\left ( \frac {\mathfrak A_{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right )\) die Restklasse von \( \varrho _{\mathfrak p} = \frac {\mu _{\mathfrak p}}{m_{\mathfrak p}}\) (mod 1) bezeichnet. Durch die Invarianten \(\left ( \frac { \mathfrak A_{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right ( \) wird im Fall eines endlichen \({\mathfrak p}\) die Gruppe \(\mathfrak G_{\mathfrak p}\) aller Algebrenklassen über \(k_{\mathfrak p}\) isomorph auf die additive Restklassengruppe aller rationalen Zahlen (mod 1) abgebildet: \[ \left ( \frac {{\mathfrak A}_{\mathfrak p} {\mathfrak B}_{\mathfrak p}}{_{\mathfrak p}} \right ) \equiv \left ( \frac {{\mathfrak A}_{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right ) + \left ( \frac {{\mathfrak B}_{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right ) \quad ({\text{mod }} 1). \] Im Fall eines unendlichen \({\mathfrak p}\) hat man nur die Restklasse 0 und \(\frac 12\) oder nur 0 zu nehmen, je nachdem ob \({\mathfrak p}\) reell ist oder nicht.
Ist jetzt \(Z^{\mathfrak p}\) ein zyklischer Körper vom Grad \(n_{\mathfrak p}\) über \(k_{\mathfrak p}\) und \(S_{\mathfrak p}\) ein erzeugender Automorphismus von \(Z^{\mathfrak p}\), so betrachte man für ein gegebenes \(\alpha _{\mathfrak p}\) aus \(k_{\mathfrak p}\) die Klasse \(\mathfrak A_{\mathfrak p}\) der zyklischen Algebra \((\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}, S_{\mathfrak p})\). Ist \(\left ( \frac { \mathfrak A_{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ) \equiv \frac {\nu _{\mathfrak p}}{n_{\mathfrak p}}\) (mod 1), so wird das Normenrestsymbol \(\left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right )\) als der Automorphismus \(S^{-\nu {\mathfrak p}}_{\mathfrak p} \) definiert; der Wert ist von der Auswahl von \(S_{\mathfrak p}\) unabhängig. Das Symbol hat dann und nur dann den Wert 1, wenn \(\alpha _{\mathfrak p}\) Norm einer Zahl aus \(Z^{\mathfrak p}\) ist; es gilt \[ \left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p} \beta _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ) = \left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ) \left ( \frac {\beta _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right ), \] so daß also \(\alpha _{\mathfrak p} \to \left ( \frac {\alpha _{\mathfrak p}, Z^{\mathfrak p}}{{\mathfrak p}} \right )\) eine isomorphe Abbildung der Normenklassengruppe von \(Z^{\mathfrak p}\) in \(k_{\mathfrak p}\) auf die galoisssche Gruppe von \(Z^{\mathfrak p}\) über \(k_{\mathfrak p}\) vermittelt. Das ist der Isomorphiesatz der Klassenkörpertheorie im Kleinen. Ist \(Z^{\mathfrak p}\) unwerzweigt über \(k_{\mathfrak p}\), so ist der Wert des Normenrestsymbols die \((-\nu _{\mathfrak p})\)-te Potenz des Frobenius-Artin-Symbols, wo \(\nu _{\mathfrak p}\) die Ordnungszahl von \(\alpha _{\mathfrak p}\) in \({\mathfrak p}\) bedeutet.
Beim Übergang zur Untersuchung des Verhaltens im Großen spielen die Ergebnisse der Arbeit von R. Brauer, H. Hasse und E. Noether (“Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren”, J. f. M. 167 (1932), 399-404; F. d. M. 58) eine Rolle. Ist \({\mathfrak A}\) eine einfache normale Algebrenklasse und zerfällt \({\mathfrak A}\) für jedes Primideal von \(k\) (d. h. die \({\mathfrak p}\)-adisch erweiterte Klasse \({\mathfrak A}_{\mathfrak p}\) besteht aus den vollen Matrizenalgebren aus \(k_{\mathfrak p}\)), so zerfällt \({\mathfrak A}\) selbst (ist die Klasse der vollen Matrizenalgebren aus \(k\)). Daraus folgt das elegante Kriterium: Ein algebraischer Erweiterungskörper \(K\) von \(k\) von endlichem Grad über \(k\) ist dann und nur dann Zerfällungskörper für eine Algebrenklasse \(\mathfrak A\), wenn für jede Primstelle \({\mathfrak p}\) aus \(k\) und die zugehörigen \(\mathfrak B\) von \(K\) der Index \(m_{\mathfrak p}\) von \({\mathfrak A}_{\mathfrak p}\) stets ein Teiler von \(e_{\mathfrak B}. f_{\mathfrak B}\) ist, wo \(e_{\mathfrak B}\) die Verzweigungsordnung und \(f_{\mathfrak B}\) der Grad von \({\mathfrak B}\) in bezug auf \({\mathfrak p}\) ist.
Unter \(\left ( \frac {{\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right )\) versteht man den Wert der Invariante \(\left ( \frac {{\mathfrak A}_{\mathfrak p}}{\mathfrak p} \right )\) für die \(\mathfrak p\)-adisch erweiterte Algebrenklasse. Dann und nur dann ist \({\mathfrak A} = \widetilde {{\mathfrak A}}\), wenn \(\left ( \frac {\mathfrak A}{\mathfrak p} \right ) = \left ( \frac {\widetilde {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \) für alle \(\mathfrak p\) ist. Es gilt \[ \left ( \frac {{\mathfrak AB}}{\mathfrak p} \right ) \equiv \left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) + \left ( \frac { {\mathfrak B}}{\mathfrak p} \right ) \quad ( \text{mod } 1). \] Die Werte von \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right )\) für festes \(\mathfrak A\) unterliegen den folgenden Bedingungen: Nur endlich viele \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right )\) sind bei gegebenem \(\mathfrak A\) von 0 verschieden (mod 1). Die Werte sind rationale Zahlen für endliches \(\mathfrak p, 0\) und \(\frac 12\) oder nur 0 für unendliches \(\mathfrak p\). Außerdem gilt die wichtige Relation \[ \sum _{\mathfrak p} \left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \equiv 0 \quad (\text{mod } 1), \] wo die Summe über alle \(\mathfrak p\) zu erstrecken ist. Schreibt man umgekehrt die Werte von \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \) so vor, daß diese Bedingungen erfüllt sind, so gibt es dazu immer eine und nur eine Algebrenklasse \(\mathfrak A\). Durch diese Sätze ist die gruppentheoretische Struktur der Gruppe der Algebrenklassen bestimmt.
Die Definition des Normenrestsymbols verläuft analog wie im \(\mathfrak p\)-adischen Fall. Ist Z ein zyklischer Körper \(n\)-ten Grades und \(S\) ein erzeugender Automorphismus, so bilde man für gegebenes \(\alpha \) aus \(k\) die Algebrenklasse \(\mathfrak A\) von \((\alpha, Z, S)\). Ist \(\left ( \frac { {\mathfrak A}}{\mathfrak p} \right ) \equiv \frac {\widetilde {\nu }_\mathfrak p}{n}\) (mod 1), so setze man \(\left ( \frac {\alpha, Z}{\mathfrak p} \right ) = S^{- \widetilde {\nu } \mathfrak p}\). Das Normenrestsybol vermittelt eine isomorphe Abbildung der Normenrestklassengruppe nach dem \(\mathfrak p\)-Führer \(f_\mathfrak p\) von \(Z\) auf die Zerlegungsgruppe von Z. Ist \(\mathfrak p\) endlich und unverzweigt, so ist der Wert die \((- \nu _{\mathfrak p})\)-te Potenz des {Artin-Frobenius}-Automorphismus, wo \(\nu _{\mathfrak p}\) die Ordnungszahl von \(\alpha \) in \({\mathfrak p}\) ist. Die oben erwähnte Summenrelation für Invarianten von \(\mathfrak A\) gibt das Reziprozitätsgesetz in der Produktform \(\Pi _{\mathfrak p} \left ( \frac {\alpha, Z}{{\mathfrak p}} \right ) =1\). Nachträglich ergibt sich die Identität des Symbols mit der früheren Definition (vgl. {H. Hasse}, 1930; JFM 56.0165.*). Bei der jetzigen Definition ist (im Gegensatz zur früheren) der Normenrestcharakter von vornherein gesichert; das Reziprozitätsgesetz ist eine tiefliegende Tatsache. Nachdem die Theorie des Normenrestsymbols gegeben ist, kann das {Artin}sche Reziprozitätsgesetz unter Verwendung der oben erwähnten Hilfsmittel ohne Schwierigkeit abgeleitet werden. (III 5.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] A. A. Albert. On the structure of normal division algebras, Ann. of Math. (2)30 (1929). · JFM 55.0682.01
[2] A. A. Albert. The rank function of any simple algebra, Proc. Nat. Acad. of Sciences15 (1929). · JFM 55.0683.03
[3] A. A. Albert. On the rank equation of any normal division algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 1929. · JFM 55.0090.03
[4] A. A. Albert. Normal division algebras in 4p 2 units,p an odd prime, Ann. of Math. (2)30 (1929). · JFM 55.0092.15
[5] A. A. Albert. A note on an important theorem on normal division algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 1930. · JFM 56.0145.04
[6] A. A. Albert. The structure of pure Riemann matrices with non-commutative multiplication algebras, Rend. del Circ. Mat. di Palermo55 (1931). · Zbl 0001.26602
[7] A. A. Albert. On direct products, cyclic division algebras, and pure Riemann matrices, Trans. Amer. Math. Soc.33 (1931). · Zbl 0001.11602
[8] A. A. Albert. On direct products, Trans. Amer. Math. Soc.33 (1931). · Zbl 0002.24605
[9] A. A. Albert. Division algebras over an algebraic field, Bull. Amer. Math. Soc. 1931. · Zbl 0003.05303
[10] A. A. Albert. On the construction of cyclic algebras with a given exponent, Amer. Journ. of Math.54 (1932). · Zbl 0003.24405
[11] A. A. Albert. A determination of all normal division algebras over an algebraic number field (together with Hasse), Trans. Amer. Math. Soc.34 (1932). · Zbl 0005.05003
[12] E. Artin. Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen, Abhandl. a. d. Math. Sem. Hamburg5 (1927). · JFM 53.0115.01
[13] E. Artin. Beweis des allgemeinen, Reziprozit?tsgesetzes, Abhandl. a. d. Math. Sem. Hamburg5 (1927). · JFM 53.0144.04
[14] H. Brandt. Zur allgemeinen Idealtheorie, Verhandl. d. Schweiz. Naturf. Ges. 1927.
[15] H. Brandt. Idealtheorie in Quaternionenalgebren, Math. Annalen99 (1928). · JFM 54.0163.01
[16] ?. Idealtheorie in einer Dedekindschen Algebra, Jahresber. d. Deutschen Math. Ver.37 (1928), S. 5-7. · JFM 54.0159.02
[17] H. Brandt. Primidealzerlegung in einer Dedekindschen Algebra, Verhandl. d. Schweiz. Naturf. Ges. 1929. · JFM 57.1355.04
[18] H. Brandt. Zur Idealtheorie Dedekindscher Algebren, Comment. Math. Helvet.2 (1930). · JFM 56.0144.03
[19] R. Brauer. Siehe Noether [1].
[20] R. Brauer. Untersuchungen ?ber die arithmetischen Eigenschaften von Gruppen linearer Substitutionen, I, Math. Zeitschr.28 (1928). · JFM 54.0149.01
[21] ?. ?ber Systeme hyperkomplexer Gr??en, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver.38 (1929), S. 47/48. · JFM 55.0091.06
[22] R. Brauer. Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Math. Zeitschr.30 (1929). · JFM 55.0088.02
[23] R. Brauer. Untersuchungen ?ber die arithmetischen Eigenschaften von Gruppen linearer Substitutionen, II, Math. Zeitschr.31 (1930). · JFM 56.0865.04
[24] R. Brauer. Siehe Hasse [9].
[25] ?ber die algebraische Struktur von Schiefk?rpern, Journ. f. d. reine u. angew. Math.166 (1932). · Zbl 0004.10003
[26] ?ber die Konstruktion der Schiefk?rper, die von endlichem Rang in bezug auf ein gegebenes Zentrum sind. Journ. f. d. reine u. angew. Math.168 (1932). · Zbl 0004.29101
[27] C. Chevalley. Sur un th?or?me de M. Hasse, Comptes Rendus de l’Acad. Paris 1930. · JFM 56.0166.01
[28] C. Chevalley. Sur la th?orie des restes normiques, Comptes Rendus de l’Acad. Paris 1930. · JFM 56.0166.02
[29] C. Chevalley. Sur la structure de la th?orie du corps de classes, Comptes Rendus de l’Acad. Paris 1932. · Zbl 0003.38704
[30] C. Chevalley. Sur la th?orie du corps de classes, Th?se de l’Universit? de Paris 1932, erscheint demn?chst an noch nicht feststehender Stelle.
[31] C. Chevalley. La th?orie du symbole de restes normiques, erscheint demn?chst im Journ. f. d. reine u. angew. Math.
[32] L. E. Dickson. Algebras and their arithmetics, Chicago 1923. · JFM 49.0079.01
[33] L. E. Dickson. New division algebras, Trans. Amer. Math. Soc.28 (1926). · JFM 52.0133.03
[34] L. E. Dickson. Algebren und ihre Zahlentheorie (mit letztem Kapitel von Speiser), Z?rich 1927. · JFM 53.0112.01
[35] L. E. Dickson. New division algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 1928. · JFM 54.0161.03
[36] L. E. Dickson. Construction of division algebras, Trans. Amer. Math. Soc.32 (1930). · JFM 56.0152.09
[37] M. Deuring. Zur Theorie der Normen relativzyklischer K?rper, Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. G?ttingen 1931.
[38] H. T. Engstr?m. Publikation in einer amerikanischen Zeitschrift in Vorbereitung.
[39] W. Grunwald. Charakterisierung des Normenrestsymbols durch die p-Stetigkeit, den vorderen Zerlegungssatz und die Produktformel, Math. Annalen107 (1932). · JFM 58.0178.04
[40] W. Grunwald. Ein allgemeines Existenztheorem f?r algebraische Zahlk?rper, erscheint demn?chst im Journ. f. d. reine u. angew. Math.
[41] H. Hasse. Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen in einem beliebigen algebraischen Zahlk?rper, Journ. f. d. reine u. angew. Math.152 (1923). · JFM 49.0114.01
[42] H. Hasse. ?quivalenz quadratischer Formen in einem beliebigen algebraischen Zahlk?rper, Journ. f. d. reine u. angew. Math.153 (1924). · JFM 50.0104.03
[43] H. Hasse. Neue Begr?ndung und Verallgemeinerung der Theorie des Normenrestsymbols, Journ. f. d. reine u. angew. Math.162 (1930). · JFM 56.0165.02
[44] H. Hasse. Die Normenresttheorie relativ-abelscher Zahlk?rper als Klassenk?rpertheorie im Kleinen, Journ. f. d. reine u. angew. Math.162 (1930). · JFM 56.0165.03
[45] H. Hasse. Beweis eines Satzes und Widerlegung einer Vermutung ?ber das allgemeine Normenrestsymbol, Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. G?ttingen 1931. · JFM 57.0206.03
[46] Theorie der zyklischen Algebren ?ber einem algebraischen Zahlk?rper, Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. G?ttingen 1931.
[47] H. Hasse. Theory of cyclic algebras over an algebraic number field (Abschnitt I siehe auch schon in Hasse [7], Trans. Amer. Math. Soc.34 (1932).
[48] H. Hasse. Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren (gemeinsam mit Brauer und Noether), Journ. f. d. reine u. angew. Math.167 (1932). · JFM 58.0142.03
[49] H. Hasse. Siehe Albert [11]A determination of all normal division algebras over an algebraic number field (together with Hasse), Trans. Amer. Math. Soc.34 (1932).
[50] K. Hensel. Eine neue Theorie der algebraischen Zahlen, Math. Zeitschr.2 (1918). · JFM 46.0254.01
[51] G. K?the. Erweiterung des Zentrums einfacher algebren erscheint in den Math. Annalen anschlie?end an diese Arbeit.
[52] E. Noether. ?ber minimale Zerf?llungsk?rper irreduzibler Darstellungen (gemeinsam mit R. Brauer), Sitzungsber. d. Akad. Berlin 1927.
[53] E. Noether. Hyperkomplexe Gr??en und Darstellungstheorie, Math. Zeitschr.30 (1931). · JFM 55.0677.01
[54] E. Noether. Siehe Hasse [9]. Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren (gemeinsam mit Brauer und Noether), Journ. f. d. reine u. angew. Math.167 (1932).
[55] E. Noether. Vorlesungen, insbesondere die Vorlesungsausarbeitung vom W. S. 1929/30, Seminare, zahlreiche Unterhaltungen mit ihrem Freundeskreis, insbesondere mit dem Verfasser, sowie Briefe an diesen, 1929-1932.
[56] E. Noether. Nichtkommutative Algebra, erscheint demn?chst in der Math. Zeitschr.
[57] F. K. Schmidt. Zur Klassenk?rpertheorie im Kleinen, Journ. f. d. reine u. angew. Math.162 (1930). · JFM 56.0165.04
[58] A. Speiser. Allgemeine Zahlentheorie (siehe auch in Dickson [3]), Vierteljahrsschr. d. Naturf. Ges. Z?rich 1926. · JFM 52.0128.01
[59] B. L. v. d. Waerden. Moderne Algebra, II, Berlin 1931.
[60] J. H. M. Wedderburn. On hypercomplex numbers, Proc. of the London Math. Soc.6 (1909). · JFM 40.0204.02
[61] J. H. M. Wedderburn. On division algebras, Trans. Amer. Math. Soc.22 (1921). · JFM 48.0126.01
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.