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Zwei Bemerkungen über stark summierbare unendliche Reihen. (German) JFM 59.0972.01
1. Bemerkung. Eine Reihe \(\sum u_n\) mit den Teilsummen \(s_n\) heißt nach Fekete (1916; F. d. M. 46, 453 (JFM 46.0453.*)) stark \(C_1\)-summierbar, wenn für ein geeignetes \(\sigma \) neben \[ C_1- \lim (s_n - \sigma ) = 0 (1) \] auch \[ C_1- \lim |s_n - \sigma | = 0 (2) \] ist. Aus (2) folgt von selbst, daß auch \[ C_1- \lim ||s_n| - |\sigma || = 0 (3) \] ist; aber umgekehrt folgt (2) nicht aus (3). Verf. bemerkt nun, daß aus (3) und (1) zusammen doch (2) folgt.
2. Bemerkung. C. E. Winn (1933; JFM 59.0238.*) hat entsprechended eine starke \(C_r\)-Summierbarkeit \((r>0)\) eingeführt und untersucht: Die Reihe \(\sum u_n\) wird stark \(C_r\)-summierbar genannt, wenn die \(C_{r-1}\)-Mittel der \(s_n\) stark \(C_1\)-summierbar sind. Verf. führt jetzt ganz entsprechend eine starke \(H_r\)-Summierbarkeit ein: \(\sum u_n\) wird stark \(H_r\)-summierbar genannt, wenn die \(H_{r-1}\)-Mittell der \(S_n\) stark \(H_1 (\equiv C_1)\)-summierbar sind. Es gilt dann dem Knopp-Schneeschen Äquivalenzsatz entsprechend: Wenn eine Reihe stark \(C_r\)-summierbar ist, so ist sie auch stark \(H_r\)-summierbar und umgekehrt \((r\) ganzzahlig). Der Beweis dafür ist dem Andersenschen Beweis des Knopp-Schneeschen Satzes (1928; F. d. M. 54, 236 (JFM 54.0236.*)) nachgebildet.
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References:
[1] K. Knopp, Grenzwerte von Reihen bei der Ann?herung an die Konvergenzgrenze, Inauguraldissertation, Berlin 1907. W. Schnee, Die Identit?t des Ces?roschen und H?lderschen Grenzwertsatzes, Math. Annalen67 (1909), S. 110-125. · JFM 40.0304.02
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