Abstrakte fastperiodische Funktionen. (German) JFM 59.0997.01

Bochner, S.

Acta Math. 61, 149-184 (1933).

Der Definitionsbereich für die unabhängige Variable \(x\) einer fastperiodischen Funktion \(f(x)\) wird wie folgt verallgemeinert: Gegeben eine Menge \(E\) von Elementen \(x, y, \dots \). Zu \(x\) und \(y\) ist die Summe \(x+y\) erklärt, und es gilt \[ x+y=y+x, (x+y)+z = x+(y+z). \] Es existiert das Element 0, so daß\( x+0=0+x=x\) ist. Zu jedem \(x\) existiert \(-x\) mit \(x+(-x)=0\). Jedem \(4x\) ist eine reelle Zahl \(|x|\) zugeordnet gemäß den Vorschriften \[ |0| = 0 \quad, \quad |x| > 0 \quad {\text{für}} x \neq 0, \] \[ |-x| = |x|, \quad |x+y| \leqq |x| + |y|. \] \(|x-y|\) heißt die Entfernung von \(x\) und \(y\). Eine Folge \(\{ x_n \}\) heißt konvergent, wenn \[ \lim _{m, n \to \infty } |x_m - x_n| = 0 \] ist.
Weiter soll die Menge kompakt sein, d. h. jede beschränkte Menge hat einen Häufungspunkt. Eine Menge \(P\) heißt relativ dicht in \(E\), falls es ein \(l >0\) gibt, derart daßjeder Punkt \(x\) von \(E\) in einer \(l\)-Umgebung (d. h. \(|x - t|< l\)) eines Punktes \(t\) von \(P\) gelegen ist.
Als abhängige Veränderliche werden die Elemente \(\xi, \eta, \zeta, \dots \) eines Raumes \(H\) genommen, der dieselben Eigenschaften wie \(E\) hat, nur daß die Forderung der Kompaktheit durch die der Vollständigkeit ersetzt wird, d. h. daß zu jeder konvergenten Folge \(\{x_n\}\) ein Element aus \(E\) gehört, gegen welches sie konvergiert. Ist nun eine Funktion \(\xi = f(x)\) auf \(E\) definiert, so kann die Stetigkeit in üblicher Weise eingeführt werden. \(t\) heißt Verschiebungselement von \(f(x)\) zu \(\varepsilon \), wenn für alle \(x\) aus \(E\) gilt \[ |f(x+t)-f(x)| < \varepsilon. \] Eine stetige Funktion \(f(x)\) heißt fastperiodisch (f. p.), wenn für jedes \(\varepsilon > 0\) die Menge der Verschiebungselemente relativ dicht ist. Die elementaren Eigenschaften der f. p. Funktionen übertragen sich auf die abstrakten f. p. Funktionen ohne Weiteres. Auch die Definition der Normalfunktionen übeträgt sich: \(f(x)\) heißt normall, falls jede Folge \(\{h_n\}\) aus \(E\) eine Teilfolge \(\{k_n\}\) enthält, für welche die Funktionenfolge \(\{f(x+k_n)\}\) gleichmäßig in \(E\) konvergiert. Nun ist jede f. p. Funktion normal und umgekehrt. Daraus folgert man, daß die Summe von f. p. Funktionen wieder f. p. ist. Die Verschiebungsfuktion \[ \upsilon _f(t) =\mathop{\operatorname{Ob.~Gr.}}\limits _{x\subset E}|f(x+t)-f(x)| \] ist f. p. Die Menge \(\{ f_\nu (x) \}\) von gleichmäßig beschränkten f. p. Funktionen heißt durch \(f\) majorisierbar, wenn \[ \upsilon _{f\nu } (t) \leqq \upsilon _f(t) \] gilt. Unter weiteren einschränkenden Annahmen über \(H\) kann axiomatisch der Integralbegriff eingeführt werden, und das Integral einer f. p. Funktion ist wieder f. p., wenn es beschränkt ist.
Um die Theorie der Fourierreihen zu entwickeln, wird neben den eingangs über \(H\) gemachten Annahmen weiterhin vorausgesetzt, daß die Multiplikation eines Elements \(\xi\) aus \(H\) mit einer komplexen Zahl \(\alpha \) möglich ist, und daß für \(\alpha. \xi \), das wieder in \(H\) liegen soll, die üblichen Rechenregeln gelten. Weiter wird für \(E\) die reelle Achse genommen. Dann kann das Integral von \(f(x)\) aus \(H\) durch \[ \lim \sum (x_{\nu + 1} - x_\nu ) f(y_\nu ) \] eigeführt werden und hat die bekannten Eigenschaften. Jetzt hat für f. p. \(f(x)\) aus \(H\) \[ \lim _{T \to \infty } \frac 1{T} \int \limits _0^T f(x) dx = M \{ f(x) \}, \] \[ a(\lambda ) = M \{ f(x) l^{-i\lambda x} \}, \] (\(\lambda \) reelle Zahl) einen Sinn. Die Besselsche Ungleichung und die Parsevalsche Gleichung gelten jedoch nicht mehr. Man zeigt aber, daß für höchstens diejenigen \(\lambda \), die im Modul der jetzt gewöhnlichen f. p. Funktion \(\upsilon _f (t)\) enthalten sind, \( a (\lambda ) \neq 0\) ist. Mit Hilfe des Fejérschen Kerns wird sodann der Approximationssatz \[ | f(x) - \sum _{n=1}^N a_n e^{i \lambda _n x} | \leqq \varepsilon \] bewiesen, wobei \(\lambda _n\) Fourierexponenten von \(f(x)\) sind \((a (\lambda _n) \neq 0)\), und die \(a_n\) in \(H\) liegen. Daraus kann der Eindeutigkeitssatz gefolgert werden. Auch der Bochnersche Summationssatz kann übertragen werden.
Nimmt man endlich zu den Eigenschaften von \(H\) auch noch die hinzu, daß zu zwei Elementen \(\xi, \eta \) eine komplexe Zahl \((\xi, \eta )\) als inneres Produkt zugeordnet ist, das den üblichen Rechenregeln genügt, so bleiben auch die Besselsche Ungleichung und die Parsevalsche Gleichung erhalten. Endlich folgen noch Bemerkungen über die Muckenhouptschen und Stepanoffschen Funktionen.

Reviewer: Hammerstein, A., Prof. (Kiel)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen

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