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Notes on random functions. (English) JFM 59.1015.01

Die Funktionenmenge \(\chi (\alpha, t)\), bestimmt durch den Parameter \(0 \leqq \alpha \leqq 1\), heißt zufällig, und \(\alpha \) gibt die Wahrscheinlichkeit an für diese spezielle Funktion \(\chi (\alpha, t)\). Die \(\chi \) bezeichnen z. B. die möglichen Bahnkurven eines Brownschen Moleküls. Die Theorie solcher Funnktionen hängt eng zusammen mit der Theorie der Borelschen abzählbaren Wahrscheinlichkeiten, also z. B. der Konvergenz der Reihe \(\sum \pm c_n\) bei zufälligen Wahl der Vorzeichen. Diese Theorie ist ausgebaut worden von Paley und Zygmund (On some series of functions, 1930; JFM 56.0254.*-255; Proceedings Cambridge 28 (1932), 190-205; F. d. M. 58). Bei Wiener (1930; JFM 56.0954.*) tritt an Stelle der Summation die Integration, an die Stelle abzählbarer willkürlicher Größen die kontinuierliche Funktionenmenge \(\chi \). Der Zusammenhang ergibt sich natürlich durch ein Orthogonalsystem \(\gamma _n(t)\); die Größen \(\int \gamma _n (t) d \chi \) sind die zufälligen Größen. Diese Arbeit bringt Übertragungen von Sätzen der Paley-Zygmund-Theorie auf solche der Wiener-Theorie. Insbesondere wird gezeigt eine gleichgradige Statigkeit fast aller \(\chi \). Es gilt für \(\varepsilon \to 0\) \[ [\chi (\alpha, t + \varepsilon ) - \chi (\alpha, t)]:\varepsilon ^\lambda \to 0 \qquad (\lambda < \frac 12) \] mit Ausnahme einer Menge von der Wahrscheinlichkeit (Maß) Null. Wiener hat dabei solche \(\chi \) gewählt, für die bei jedem \(F(u_1, \dots, u_n)\) gilt \((\chi _\nu = \chi (\alpha, t_\nu )):\) \[ \int \limits _0^1F(\chi _1, \chi _2 - \chi _1, \dots,\chi _n - \chi _{n-1}) d\alpha \]
\[ = \pi ^{-\frac {n}2} \Pi (t_\chi - t_{\chi -1})^{-\frac 12} \int \limits _{-\infty }^{+\infty } du_1 \dots du_n \int \limits _{-\infty }^{+\infty } F \exp \left [ -\sum \frac {u^2_\chi }{t_\chi - t_{\chi -1}} \right ]. \] (IV 16.)

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References:

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