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Eine Frage über trigonometrische Polynome. (German) JFM 59.1016.04

Verf. betrachtet, an eigene ältere Untersuchungen anknüpfend, folgende Frage (vgl. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (1890; JFM 40.0232.08 and JFM 40.0232.09) (F. d. M. 40, 232-234), S. 245–258, 891–893):
“Es sei \(n\geq 2\) ganz. Welches ist die untere Grenze \(P_n\) von \[ \frac {\sum _{\nu =0}^n a_\nu }{a_1-a_0} \] für alle Funktionen \[ g(\varphi ) = \sum _{\nu =0}^n a_\nu \cos \nu \varphi \] mit \[ 0<a_0<a_1, \quad a_\nu \geqq 0 \quad {\text{für}} \quad 2\leqq \nu \leq n, \] die für alle reellen \(\varphi \) der Bedingung \[ g(\varphi ) \geq 0 \] genügen?
Verf. zeigt auf einfachste Art \[ P_3=P_4=P_5=6. \] Für \(n=6\) ist nach J. Schur vgl. Verf. l. c., S. 251-252) \[ P_6 \leqq \frac {648}{109} \] und nach {it Toeplitz} (vgl. Verf. l. c., S. 891-893) \[ P_6 > 5,49; \] die genaue Bestimmung von \(P_6\) steht indes noch aus.

MSC:

42A05 Trigonometric polynomials, inequalities, extremal problems
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Full Text: EuDML