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The boundary values of analytic functions. II. (English) JFM 59.1030.01
(1) Es sei \(\{f_n(z) \}\) eine Folge in \(|z|<1\) analytischer, gleichmäßig beschränkter Funktionen. Nach Fatou existiert dann für jedes \(n\) der Randwert \(\lim _{r \to 1} f_n (re^{it})\) fast überall in \(0 \leqq t<2 \pi \) und definiert damit fast überall auf \(|z|=1\) eine Randfunktion \(F_n(z)\). Verf. beschäftigt sich in einem ersten Teil der vorliegenden Arbeit mit den Beziehungen, die zwischen dem Konvergenzverhalten der Folge \(\{f_n (z) \}\) und dem der Folge \(\{F_n (z) \}\) der Randfunktionen bestehen. Das Hauptresultat gibt notwendige und hinreichende Bedingungen für die Folge \(\{ F_n (z) \}\), damit \(\{f_n (z) \}\) gleichmäßig in jedem inneren Teil von \(|z|<1\) konvergiert. Es Lautet:
\(\{A_n \}\) und \(\{A'_n \}\) seien zwei Folgen von Bögen des Einheitskreises, für die \(A_n\) und \(A'_n\) jeweils keinen Punkt gemein haben und \[ \varliminf _{n\to \infty } mA_n>0, \quad \varliminf _{n\to \infty } mA'_n>0 \] gilt; unter \(S (A_n)\) bzw. \(S(A'_n)\) werde das Innere des von \(A_n\) bzw. \(A'_n\) und der zugehörigen Sehne begrenzten Segments des Einheitskreises verstanden. Ferner seien \(\{g_n (z)\}\) und \(\{h_n (z) \}\) zwei Folgen in \(|z|<1\) analytischer, gleichmäßig beschränkter Funktionen mit Fatouschen Randfunktionen \(\{G_n (z) \}\) bzw. \(\{H_n (z) \}\), für die \[ f_n(z)=g_n (z) h_n (z) \] und \[ g_n (z) \neq 0 \quad {\text{in}} \quad S(A_n), \qquad h_n(z) \neq 0 \quad {\text{in}} \quad S(A'_n) \] gilt. (Solche Folgen existieren, sie lassen sich durch Bildung passender Blaschkescher Produkte herstellen.) Notwendig und hinreichend dafür, daß gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teilgebiet von \(|z|<1\) \[ \lim _{n \to \infty } f_n (z)=0 \] gilt, ist dann das Bestehen der Beziehung \[ \lim _{n \to \infty } \frac {\underline B \{|G_n (z)|, E_n \} }{1+O \{{\text{arc}} G_n (z), E_n \}}. \frac {\underline B \{|H_n(z)|, E'_n \}}{1+O \{{\text{arc}} H_n (z), E'_n \}}=0 \] für jedes Paar von Folgen \(\{E_n \}, \{E'_n \}\) meßbarer Mengen mit \[ E_n \subset A_n, E'_n \subset A'_n \quad {\text{und}} \quad \varliminf _{n\to \infty } m E_n>0, \varliminf _{n\to \infty } m E'_n>0. \] (Dabei ist unter \(\underline B \{|G_n (z) |, E_n \}\) die untere Grenze von \(|G_n (z)|\) auf \(E_n\), unter \(O \{{\text{arc}} G_n (z), E_n \}\) die Schwankung von \({\text{arc}} G_n (z)\) auf \(E_n\) zu verstehen.)
(2) Unter Heranziehung der Ergebnisse dieses ersten Teils werden ferner die Beziehungen einer in \(|z|<1\) analytischen, beschränkten Funktion \(f(z)\) zu eihrer Fatouschen Randfunktion \(F(z)\) in der Umgebung eines Randpunktes \(P(e^{it_o})\) untersucht (vgl. vorstehendes Referat). Es wird gefragt, welche notwendigen und hinreichenden Bedingungen \(F(z)\) in der Umgebung von \(P(e^{it_o})\) erfüllen muß, damit \(F(z)\) in \(P\) definiert ist (daß also der Randwert \(\lim _{r \to 1} f(re^{it_o})=F(e^{it_o})\) existiert), bzw. daß\(f(z)\) für \(z \to P\) einen vorgegebenen Häufungswert \(\alpha \), eventuell schon bei Beschränkung auf nichttangentielle Annäherung von \(z\) an \(P\), besitzt. Beide Fragen lassen sich mit Hilfe des unter (1) zitierten Hauptresultats über Funktionenfolgen beantworten; mit Rücksicht auf die Kompliziertheit des Reslutats beschränkt sich Verf. jedoch auf die Behandlung gewisser Spezialfälle. Neben anderen Bedingungen, in denen die Existenz des Randwerts \(F(e^{it_o})\) bzw. das Auftreten eines Häufungswerts \(\alpha \) in Beziehung gesetzt wird zu gewissen “Fast-Stetigkeits”- bzw. “Quasi-Fast-Stetigkeits”-Eigenschaften der Funktion \(F(z)\) in \(P\), wird der folgende Satz bewiesen:
Die Funktion \(f(z)\) sei in einer Umgebung des Randpunktes \(P\) von \(\alpha \) verschieden. Dann ist (a) notwendig und hinreichend dafür, daß \(F(z)\) in \(P\) definiert ist und den Wert \(\alpha \) besitzt, das Bestehen der Beziehung \[ \lim _{n \to \infty } \frac {\underline B \{|F(z)-\alpha |, E_n\}}{1+O \{{\text{arc}} [F(z)-\alpha ], E_n \}}=0 \] für jede Folge meßbarer Punktmengen \(E_n\), zu der eine Folge \(\{A_n \}\) bezüglich \(P\) symmetrischer Bögen des Einheitskreises mit den Eigenschaften \[ E_n \subset A_n, \quad \lim _{n \to \infty } mA_n=0, \quad \varliminf _{n \to \infty } \frac {mE_n}{mA_n}>0 \] existiert. (b) Notwendig und hinreichend dafür, daß \(f(z)\) für \(z \to P\) den Häufungswert \(\alpha \) besitzt, ist das Bestehen der Beziehung \[ \lim _{n \to \infty } \frac {\underline B \{|F(z)-\alpha |, EA_n\} }{1+O \{{\text{arc}} [F (z)-\alpha ], EA_n \}}=0 \] für eine gegen \(P\) konvergierende Folge \(\{A_n\}\) von Bögen des Einheitskreises und jede meßbare Menge \(E\). für die \[ \varliminf _{n \to \infty } \frac {mEA_n}{mA_n}>0 \] gilt. (c) Die Bedingung unter (b) ist auch notwendig und hinreichend dafür, daß \(f(z)\) schon bei Beschränkung auf nicht-tangentielle Annäherung von \(z\) an \(P\) den Häufungswert \(\alpha \) hat, wenn die Bögen \(A_n\) so gewählt sind, daß sie sämtlich den Mittelpunkt \(P\) haben.
(3) In zwei weiteren Abschnitten werden ähnliche Fragen unter allgemeineren Voraussetzungen erörtert. Ist \(f(z)\) eine beliebige in \(|z|<1\) meromorphe Funktion, so kann zu ihr eine im allgemeinen mehrdeutige “Häufungsrandfunktion” \(J(z)\) gebildet werden, indem jedem Punkt \(P\) von \(|z|=1\) die Menge der Häufungswerte von \(f(z)\) für \(z \to P\) (aus dem Innern des Einheitskreises) zugeordnet wird. Die Ergebnisse der in Rede stehenden Abschnitte beziehen sich wieder auf die Frage, welche Beziehungen zwischen einer Folge \(\{f_n(z) \}\) in \(|z|<1\) meromorpher Funktionen und der zugehörigen Folge \(\{J_n(z)\}\), bzw. welche Beziehungen zwischen einer in \(|z|<1\) meroporphen Funktion \(f(z)\) und der zugehörigen Funktion \(J(z)\) in der Umgebung eines Randpunkts bestehen.

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