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Sur les domaines dans lesquels une fonction méromorphe prend des valeurs appartenant à une région donnée. (French) JFM 59.1033.02

Acta Soc. Sc. Fennicae (2) A 2, Nr. 2, 17 p (1933).
Die Grundlage der Arbeit bildet ein Hilfssatz, der besagt, daß bei konforner Abbildung das Bildgebiet auch im Großen in einem gewissen Sinne dem Original nicht zu unähnlich sein kann. Der Satz ist, sowohl was den Inhalt, wie was die Beweismethode angeht, aufs engste verwandt mit der ersten Hauptungleichung aus der Dissertation des Verf. (1930; JFM 56.0984.*). (Einen besonders durchsichtigen Satz dieser Art s. bei Polya, 1933; JFM 59.0348.*.) Leichte Modifikationen führen schließllich zu dem folgenden weiteren Hilfssatz: \(\Omega \) sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet in der \(z\)-Ebene, das begrenzt werde von Bogen auf zwei konzentrischen Kreisen \(K_1 (|z|=r_1)\) und \(K_2 (|z|=r_2)\) und zwei Kurven \(L_1\) und \(L_2\), die \(K_1\) und \(K_2\) verbinden, ferner eventuell noch von gewissen Bogen \(\gamma \), die zwei Punkte auf \(K_1\) oder zwei Punkte auf \(K_2\) miteinander verbinden. \(r\theta (r)\) bezeichne die Summe der Längen aller Bogen auf \(|z|=r\), die zu \(\Omega \) gehören. \(E_1, E_2, E_3\) seien drei abgeschlossene, einfach zusammenhängende, punktfremde Gebiete der \(w\)-Ebene; \(w=f(z)\) sei eine in \(\Omega \) meromorphe Funktion, die auf \(L_1\) nur Werte aus \(E_1\), auf \(L_2\) nur Werte aus \(E_2\) und auf den \(\gamma \) Werte aus \(E_1\) oder \(E\) annimmt. Dann nimmt \(f(z)\) in \(\Omega \) Werte aus \(E_3\) an, wofern \[ \int \limits _{r_1}^{r_2} \frac {dr}{r\theta (r)} \geqq K, \] wo \(K\) eine Konstante bedeutet, die nur von den Gebieten \(E_1, E_2, E_3\) abhängt.
Ist nun \(f(z)\) eine in einem Kreis \(|z| \leqq R\) meromorphe Funktion, so betrachte man die Gebiete \(\Delta \), in denen \(f(z)\) Werte aus \(E_1, E_2, E_3\) annimmt. Dann besgt der Hauptsatz”
Ist \[ R \geqq K' : \frac {|f'(0)|}{1+|f(0)|^2}, \] so liegt mindestens eines dieser Gebiete ganz in \(|z|<R\). Dabei ist \(k'\) wieder eine nur von \(E_1, E_2, E_3\) abhängige Konstante. Der Satz ist eine bemerkenswerte Verallgemeinerung des Picart-Landauschen Satzes.
Es werden weiterhin einige Folgerungen aus ihm gezogen. Unter der Voraussetzung, daß keines der Gebiete \(\Delta \) ganz in \(|z|<R\) liegt, erhält man eine Abschätzung der aus der Nevanlinnaschen Theorie bekannten Funktion \(T(r, f)\), wobei ihre Beziehung zu \(S(r, f)\) wesentlich ist (vgl. Shimizu, 1929; JFM 55.0196.*; ferner Ahlfors, 1930; F. d. M> 56\(_{\text I}\), 278). Fast unmittelbar ergibt sich, daß die eben genannte Voraussetzung, gültig für alle Funktonen einer Familie, auf deren Normalität schließen läßt. Eine Folgerung betreffend Juliasche Geraden ganzer Funktionen liegt auf der Hand.
Besonderes Interesse verdient schließlich eine Verallgemeinerung des Blochschen Satzes (vgl. Bloch, 1926; F. d. M. 52, 324 (JFM 52.0324.*)): Sind \(E_1 \dots, E_6\) sechs einfach zusammenhängende, punktfremde Gebiete der \(w\)-Ebene, so existiert in \(|z|<R\) ein Gebiet, das durch \(f(z)\) auf eines dieser Gebiete schlicht abgebildet wird, wofern \[ R \geqq C \frac {1+|f(0)|^2}{|f'(0)|}; \] hier ist \(C\) eine Konstante, die von \(E_1, \dots, E_6\) abhängt. Die Anzahl sechs der Gebiete \(E\) läßt sich wie Verf. hier aber nicht mehr beweist, auf fünf reduzieren (vgl. Verf., Sur les fonctions inverses des foncitons méromorphes, C. R. 194 (1932), 1145-1147; F. d. M. 58).
Die Zusammenhänge der resultate mit wichtigen älteren Sätzen lassen erkennen, daß die Tragweite der Methode keineswegs erschöpft ist. (IV 5.)