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Méthodes de sommation et directions de Borel. (French) JFM 59.1035.02

Die Potenzreihe \[ f(z)=\sum _0^\infty a_n z^n (1) \] stelle eine ganze transzendente Funktion dar. Ferner sei die Potenzreihe \[ F(z)=\sum _0^\infty b_n z^n (2) \] in \(|z|<1\) konvergent. Kann man bei geeigneter Wahl von \(b_n\) die Juliaschen Richtungen von (1) mit der Lage der Singularitäten von (2) in einen Zusammenhang bringen? Die Frage ist bekanntlich von Bloch aufgeworfen und von Valiron und Bernstein vertieft worden. Bloch hat außerdem aus Zweckmäßigkeitsgründen die Juliaschen durch die Borelschen Maximalrichtungen ersetzt. Bernstein hat mit Hilfe der Borelschen Summationsmethode im Falle einer ganzen transzendenten Funktion vom Normaltypus der Ordnung Eins das Ergebnis gewonnen, daß die Kenntnis der Lage der Singularitäten von (2) einige der Juliaschen Richtungen bestimmen kann. Verf. verallgemeinert im erstem Teil die Borelschen Summationsmethoden und durch Einführung von allgemeineren summatorischen Funktionen als die exponentielle gelingt es ihm auch, im Falle einer Funktion von unendlicher Ordnung summatorische Funktionen zu konstruieren, deren Größenordnung mit der Ordnung von (1) übereinstimmt.
In Zusammenhang mit diesen neuen Ergebnissen werden zum Schluß Sätze aufgestellt, die den Zusammenhang zwischen den Singularitäten von (2) und den Borelschen Richtungen von (1) (unter manchen Einschränkungen, die allerdings in der Natur der Sache liegen) aufdecken. (Vgl. auch V. Bernstein, 1934; JFM 60.0264.*.)

Citations:

JFM 60.0264.*
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Full Text: EuDML