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Das Eulersche Prinzip. Randwertprobleme der Wärmeleitungstheorie und physikalische Deutung der Integralgleichung der Thetafunktion. (German) JFM 59.1086.01

Bezeichnet man wie üblich die Thetafunktionen mit \[ \begin{gathered} \vartheta _2(x, t)=\sum \limits _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^m \frac {1}{\sqrt {\pi t}}e^{-\tfrac {(x+m)^2}{t}}, \\ \vartheta _3(x, t)=\sum \limits _{m=-\infty }^{\infty }\frac {1}{\sqrt {\pi t}} e^{-\tfrac {(x+m)^2}{t}}, \end{gathered} \] und wird unter der “Falting” \(F_1\ast F_2\) von zwei Funktionen die Integralbindung \[ \int \limits _{0}^{t}F_1(\tau )F_2(1-\tau )d\tau \] verstanden, so beweist Verf. die für \(0<x<1, t>0\) gültige Funktionalgleichung \[ \vartheta _3\left ( \frac {x}{2}, t\right ) \ast (\vartheta _3(0, t)+1)+ \frac {\partial \vartheta _2\Big ( \dfrac {x}{2}, t\Big ) }{\partial x} \ast \big ( 2t\vartheta _3(0, t)+1\big ) =0. \] Sie geht für \(x\to 0\) in die bekannte Integralgleichung der Thetanullfunktion \[ \vartheta _3(0, t)\ast (\vartheta _3(0, t)+1)-2t\vartheta _3(0, t)+1=0 \] über. Die Herleitung geschieht wie folgt: Die Wärmeleitungsgleichung \[ \frac {\partial ^2\varPhi (x, t)}{\partial x^2} =\frac {\partial \varPhi (x, t)}{\partial t} \tag{1} \] hat bei den Randbedingungen \[ \lim \limits _{t\to 0}\varPhi (x, t)=0, \quad \lim \limits _{x\to 0}\varPhi (x, t)=2t\vartheta _3(0, t)+1, \quad \lim \limits _{x\to 1}\frac {\partial \varPhi }{\partial x}=0 \] die Lösung \[ \varPhi (x, t)=-(2t\vartheta _3(0, t)+1)\ast \frac {\partial \vartheta _2\Big ( \frac {x}{2}, t\Big ) } {\partial x}+U(x, t), \tag{2} \] wo \(U(x, t)\) eine den Randbedingungen \[ \lim \limits _{t\to 0}U=0, \quad \lim \limits _{x\to 0}U=0, \quad \lim \limits _{x\to 1}\frac {\partial U}{\partial x}=0 \] genügende Lösung von (1) ist.
Nun zeigt man, daß für dieses \(\varPhi (x, t)\) gilt: \[ \lim \limits _{x\to 0}\frac {\partial \varPhi }{\partial x} =-\vartheta _3(0, t)-1. \] Betrachtet man also diejenige Lösung von (1), die den Randbedingungen \[ \lim \limits _{t\to 0}\varPhi =0, \quad \lim \limits _{x\to 0}\frac {\partial \varPhi }{\partial x}=-\vartheta _3(0, t)-1, \quad \lim \limits _{x\to 1}\frac {\partial \varPhi }{\partial x}=0 \tag{3} \] genügt, so kann sie sich von dem eben ermittelten \(\varPhi \) höchstens um eine solche Lösung unterscheiden, für die \[ \lim \limits _{t\to 0}\varPhi =0, \quad \lim \limits _{x\to 0}\frac {\partial \varPhi }{\partial x}=0, \quad \lim \limits _{x\to 1}\frac {\partial \varPhi }{\partial x}=0 \tag{4} \] gilt. Für die Lösung der Randwertaufgabe (2) ermittelt man aber den analytischen Ausdruck \[ (\vartheta _3(0, t)+1)\ast \vartheta _3\big ( \frac {x}{2}, t\big ) +T(x, t), \tag{5} \] wo \(T\) (4) erfüllt. Um die gewünschte Funktionalgleichung zu gewinnen, hat man nur (2) und (5) gleichzusetzen und mit Hilfe der Laplaceschen Transformation zu zeigen daß die Zusatzglieder verschwinden. Im Anschluß\^^Mdaran deutet Verf. die Funktionalgleichung wärmetheoretisch. Auf demselben Weg wird unter Verwendung anderer Randbedingungen \[ \begin{gathered} \chi (x, t)\ast (\chi (0, t)+1)-(2t\chi (0, t)+1)\ast \psi (x, t)=0\\ \text{mit} \quad \chi (x, t)=\frac {1}{\sqrt {\pi t }}e^{-\tfrac {x^2}{4t}}, \quad \psi (x, t)=-\frac {\partial \chi }{\partial x} \end{gathered} \] bewiesen. Verf. bezeichnet das Verfahren als “Eulersches Prinzip” in Verallgemeinerung des Eulerschen Gedankengangs zur Herleitung des Additionstheorems für das elliptische Normalintegral erster Gattung aus der Differentialgleichung.
(IV 14. )

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