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Sur l’intégration d’une classe d’équations aux dérivées partielles du second et du trosième ordre à une fonction inconnue de \(n\) variables indépendantes. (French) JFM 59.1124.03
Thése. 64 p. Paris, Imprimerie Les Presses Modernes (1933).
In der Schrift wird eine ausgedehnte Klasse von gleichungen zweiter und dritter Ordnung \[ \begin{aligned} &\varPhi =p_{11}+\varPhi _1(x, x_1, \dots, x_n; p_{12}, \dots, p_{nn})=0, \tag{1}\\ &\varPhi =p_{111}+\varPhi _1(x, x_1, \dots, x_n; p_{11}, \dots, p_{nn}; p_{112}, p_{113}\dots p_{nnn})=0, \tag{2} \end{aligned} \] welche Charakteristiken im sinne von Monge besitzen, nach einer von A. Vessiot entwickelten Methode integriert. Die an Liesche Gedankengänge anknüpfende Methode wird als die der “feisceaux de transformations infinitésimales” bezeichnet und kann als Gegenstück zu der von E. Cartan angegebenen der “formes extérieures” angesehen werden. Für (1) wird der “feisceau” definiert durch die infinitesimalen Transformationen \[ X_if=\frac {\partial f}{\partial x_i} +p_i\frac {\partial f}{\partial x} +p_{i\alpha }\frac {\partial f}{\partial p_{\alpha }}, \qquad P_{ik}f=\frac {\partial f}{\partial p_{ik}} \quad (\alpha, i, k=1, 2, \dots, n), \] wo \(\alpha \) ein Summationsindex ist. Entscheidend für die Natur der Lösung ist die Struktur des “sous-faisceau charactéristique”, insbesondere die Anzahl der Invarianten desselben. Im ersten Teil der Schrift werden sowohl lineare als auch nichtlineare Gleichungen zweiter Ordnung untersucht, die sich nach dieser Methode integrieren lassen, u. a. die “verallgemeinerte” Monge-Ampéresche Gleichung \[ | p_{1i}+E_{1i}, \dots, p_{ni}+E_{ni}| =0 \qquad (i=1, 2, \dots, n), \] wo die \(E\) Funktionen der \(x, x_1, \dots, x_n, p_1, \dots p_n\) sind. Im zweiten Teil wird die Integrationsmethode erstmalig auf Gleichungen dritter Ordnung ausgedeht, wobei nur der Fall betrachtet wird, daß der “sousfaisceau charactéristique” die größtmögliche Anzahl von Invariaten besitzt.