Propriétés des fonctions harmoniques dans un domaine ouvert limité par des surfaces à courbure bornée. (French) JFM 59.1136.02

De la Vallée Poussin, C.

Annali Pisa (2) 2, 167-197 (1933).

Die “méthode de balayage” liefert bekanntlich eine Lösung des Dirichletschen Problems in der folgenden Form: \[ U(P)=\iint \limits _SU(Q)d\mu (S, P); \tag{1} \] hier bedeutet \(U(P)\) eine in dem Gebiet \(D\) mit gewissen Bedingungen genügender Oberfläche \(S\) harmonische Funktion mit stetigen Randwerten \(U(Q), d\mu (S, P)\) die Masse, die auf das Oberflächenelement \(dS\) entfällt, wenn man die ursprünglich im Punkte \(P\) befindliche Masseneinheit so auf dem Rande verteilt, daß das Potential im Außengebiet unverändert bleibt.
Die vorliegende Arbeit gibt bemerkenswerte Verallgemeinerungen dieser Darstellung einer harmonischen Funktion für den Fall, daß es sich um ein Gabiet mit beschränkter Randkrümmung handelt. Unter einem solchen wird ein Gebiet verstanden, dessen Rand in jedem Punkte eine Tangentialebene besitzt, und bei dem die Normalen in benachbarten Punkten einen Winkel miteinander bilden, der klein ist von mindestens gleicher Ordnung wie die Entfernung der beiden Punkte.
Es sei nun \(U\) eine in einem solchen Gebiet beschränkte harminische Funktion. Dann wird bewiessen: Sie strebt fast in jedem Randpunkt bei nicht berührender Annäherung gegen einen bestimmten Grenzwert, und es gilt die Darstellung (1).
Zum Beweise wird zunächst gezeigt, daß, wenn \(\varrho (Q, P)\) die Dichte der Belegung \(\mu (\sigma, P)\) (eine in \(P\) harmonische Funktion) und \(F(\sigma )\) eine beschränkte additive Mengenfunktion auf \(S\) ist, \[ \iint \varrho (Q, P)dF \tag{2} \] eine in \(D\) harmonische Funktion darstellt, die in jedem Randpunkt bei nicht berührender Annäherung gegen die Derivierte von \(F\) strebt, falls diese existiert. Mit der Formel (1) läßt sich nun von inneren Teilbereichen von \(D\) aus ein Grenzübergang vollziehen derart, daß sie in die Form (2) übergeht, mit \[ F(\sigma )=\lim \limits _{\sigma '\to \sigma }\iint \limits _{\sigma '}UdS, \tag{3} \] wenn \(\sigma '\) ein im Innern von \(D\) liegendes Flächenstück mit demselben Rande wie \(\sigma \) bedeutet. Die Derivierte dieses \(F(\sigma )\) ergibt dann die Randwerte, deren Existenz in obigem Satze behauptet wird. Diese Behuptung und die Darstellung (2) gilt auch für positive harmonische Funktionen. Gibt man eine positive additive Mengenfunktion \(F(\sigma )\) vor und bildet (2), so erhält man eine harmonische Funktion, zu der \(F(\sigma )\) in der Bezielung (3) steht.
Ist \(U\) eine beliebige harmonische Funktion, so wird eine notwendige und hinreichende Bedingung angegeben dafür, daß analoge Betrachtungen für sie angestellt werden können, das bedeutet, daß sie sich als Differenz zweier positiver harmonischer Funktionen darstellen läßt.

Reviewer: Grunsky, H., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Potentialtheorie. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus.