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Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (German) JFM 59.1152.03
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 2, Nr. 3. Berlin: Julius Springer. IV + 62 S. (1933).
Im Gegensatz zu der Häufigkeitstheorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in welcher der Begriff Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer Häufigkeiten abgeleitet wird, ist für Verf. Wahrscheinlichkeit ein nicht abgeleiteter Grundbegriff, der im wesentlichen in der folgenden “mengentheoretischen” Weise durch das Axiomensystem festgelegt wird: Man hat eine Menge \(E\) von Elementarereignissen und aus ihr ein System \(\mathfrak F\) von Teilmengen \(A\), die “zufälligen Ereignisse”, so daß folgendes gilt: (1) \(\mathfrak F\) ist ein Mengenkörper. (2) \(\mathfrak F\) enthält \(E\). (3) Zu jedem \(A\) gehört eine nicht negative Zahl \(P(A)\), die Wahrscheinlichkeit von \(A\). (4) \(P(E)=1\). (5) Für elementfremde \(A, B\) gilt \[ P(A+B)=P(A)+P(B). \] (6) Für eine abnehmende Folge mit dem Durchschnitt 0 gilt: \(\lim P(A_n)=0\). Nach Entwicklung der ersten Sätze wird fortan angenommen, daß das System \(\mathfrak F\) ein Borelscher Körper ist. Unter einer zufälligen Größe wird verstanden eine auf \(E\) definierte - der Kürze halber formuliert Ref. eindimensional - Funktion \(x(\xi )\) mit der Eigenschaft: Die \(\xi \), für welche \(x(\xi )<a\) gilt, bilden für jedes reelle \(a\) wieder eine Menge aus \(\mathfrak F\); entsprechend wird in beliebig vielen, und auch in unendlich vielen Dimensionen verfahren. Es ist dann möglich, die absolute und bedingte mathematische Erwartung der zufälligen Größe einzuführen als abstraktes Lebesguesches Integral \(\int xP(dE)\), und auf Grund dessen kann Verf. die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die man sonst nur für Versuche mit endlich vielen Merlmalen - das entspricht endlich vielen \(A\) - hatte, einführen für Versuche mit unendlich vielen Merkmalen. Das letzte Kapitel bringt die schönen resultate des Verf. und Khintchines über die Gesetze der großen Zahlen.
Durch die Ersetzung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs durch den des Lebesgueschen Maßes erreicht Verf. eine sehr große Eleganz der Darstellung. Es ergeben sich sehr allgemeine, abgerundete Resultate mit verhältnismäßig wenig Mühe in absoluter formaler Strenge.
Wie Verf. selbst andeutet, ist diese aber erkauft durch eine große Entfernung vom Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der bei der Häufigkeitstheorie liegt, und Verf. kann auch nur sein Axiomensystem ohne das weittragende Stetigkeitsaxiom (6) deuten als abgeleitet aus einer Theorie von relativen Häufigkeiten. (Bei dieser Deutung treten natürlich sämtliche Schwierigkeiten des Anwendungsproblems der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf. ) Wegen der Entfernung vom Ursprung, der Häufigkeitstheorie, hat E. Tornier, mit dessen Theorie sonst prinzipielle Ähnlichkeit besteht, wie er (1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1151) angibt, auf die Identifizierung von Wahrscheinlichkeit mit Maß verzichtet und seine Theorie auf dem mühevolleren Peano - Jordanschen Inhaltsbegriff aufgebaut.
Die Überschriften der einzelnen Kap. sind: I. Die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. II. Unendliche Wahrscheinlichkeitsfelder. III. Zufällige Größen. IV. Mathematische Erwartungen. V. Bidingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen. VI. Unabhängigkeit. Gesetzt der großen Zahlen. Anhang: Null- oder Eines -Gesetz in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Am Ende findet sich ein Verzeichnis neuerer Arbeiten über den Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Besprechung: W. Lorey; Allgemeines Statistisches Archiv 23 (1933), 462-463.

Subjects:
Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Anwendungen.