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Regular families of curves. (English) JFM 59.1256.04
Ein System von paarweise fremden Kurven (d. h. topologischen Bildern eines offenen, einseitig offenen oder abgeschlossenen Intervalls oder einer Kreilinie), deren Punkte einen separablen metrischen Raum \(R\) bilden, heißt eine reguläre Kurvenschar, wenn es zu jedem Bogen \(pq\) einer jeden Kurve \(C\) der Schar und zu jedem \(\varepsilon >0\) ein \(\delta >0\) gibt, derart daß für jeden Punkt \(p'\) in einer \(\varepsilon \)-Umgebung von \(p\) auf der durch \(p'\) gehenden Kurve \(C'\) ein Punkt \(q'\) existiert, so daß die “Spanne” \(\sigma (pq,p'q')\) der orientierten Bogen \(pq,p'q'\) kleiner als \(\delta \) belibt. Dabei ist \(\sigma (pq,p'q')\)-nach Fréchet - folgendermaßen definiert: Ist \(H\) eine homöomorphe Abbildung von \(pq\) auf \(p'q'\) bei der \(p\) in \(p'\) \(q\) in \(q'\) übergeht, so sei \(d(H)\) die obere Grenze der Entfernungen \(\varrho (r,r')\) entsprechender Punkte \(r,r'\) der beiden Bogen; \(\sigma (pq,p'q')\) ist dann die untere Grenze der \(d(H)\) für alle \(H\). Die Spanne erfüllt die üblichen Entfernungsaxiome.
Verf. untersucht reguläre Kurvenscharen im Hinblick auf die Existenz von Querschnitten und auf die Frage, ob sich eine solche Schar immer als System der Bahnkurven einer Bewegung in dem betreffenden Raum auffassen lasse. Zu den regulären Kurvenscharen gehören die Lösungskurven von Differentialgleichungssystemen \[ \frac {dx_i}{dt}=X_i(x_1,x_2,\dots,x_n) \qquad (i=1,2,\dots,n), \] die den Ausgangspunkt der Untersuchung bilden.
Unter einem “Querschnitt” durch den Punkt \(p\), der innerer Punkt einer Kurve einer regulären Kurvenschar \(F\) sein soll, versteht Verf. eine Punktmenge \(S\) mit folgenden Eigenschaften: (1) Jeder Punkt \(p'\) von \(S\) ist innerer Punkt eines Bogens \(q_0'q_1'\) von \(F\), derart daß für ein \(\lambda '>0\) jeder Bogen \(r_0'r_1'\) mit \(\sigma (q_0'q_1',r_0'r_1')<\lambda '\) höchstens einen Punkt von \(S\) enthält. (2) \(p\) ist innerer Punkt von beliebig kleinen Bogen \(q_0q_1\) von \(F\) von der Eigenschaft, daß für ein \(\lambda >0\) jeder Bogen \(r_0r_1\) mit \(\sigma (q_0q_1,r_0r_1)<\lambda \) genau einen Punkt von \(S\) enthält. (3) \(S\) ist abgeschlossen. Es wird gezeigt: Durch jeden Punkt \(p\) einer regulären Kurvenschar \(F\), der innerer Punkt einer Kurve von \(F\) ist, geht mindestens ein Querschnitt. Hat man Querschnitte \(S_0\) und \(S_1\) durch zwei Punkte \(p_0\) und \(p_1\) derselben Kurve \(C\) (die auch zusammenfallen können) und enthält \(p_0p_1\) abgesehen von den Endpunkten keinen Punkt von \(S_0\) oder \(S_1\), so kann man Teilmengen \(S_0'\) und \(S_1'\) von \(S_0\) und \(S_1\) bestimmen, die selbst wieder Querschnitte durch \(p_0\) und \(p_1\) sind und durch die Kurven der Schar topologisch aufeinander abgeleitet sind. Falls der Raum \(R\) im kleinen zusammenhängend ist, ist jeder Querschnitt in jedem seiner inneren Punkte im kleinen zusammenhängend.
Für die zweite Fragestellung werden die Voraussetzungen etwas abgeändert: Unter einer Bahnkurvenschar versteht Verf. eine reguläre, in einem leicht zu präzisierenden Sinne orientierbar und orientierte Kurvenschar, deren Kurven jetzt topologische Bilder von Kreislinien oder offenen Intervallen sind und eine offene Teilmenge eines im kleinen kompakten separablen metrischen Raumes \(R\) bilden, zusammen mit jenen Punkten von \(R\), die nicht der Schar angehören und ihr als “Fixpunkte” hinzugefügt werden. Es wird gezeigt: Man kann für alle \(p\subset R\), \(-\infty <t<+\infty \), eine Funktion \(f(p,t)\) mit folgenden Eigenschaften definieren:
(1) \(q=f(p,t)\) ist ein eindeutig bestimmter Punkt von \(R\), der auf der durch \(p\) hindurchgehenden Kurve \(C\) liegt, falls eine solche definiert ist, und mit \(p\) zusammenfällt, wenn \(p\) ein Fixpunkt ist; wenn \(q\) ein Punkt der durch \(p\) gehenden Kurve ist, gibt es wenigstens ein \(t\) mit \(f(p,t)=q\).
(2) \(f\) ist eine in beiden Veränderlichen \(p\), \(t\) stetige Funktion.
(3) Bei wachsendem \(t\) bewegt sich \(f(p,t)\) auf der durch \(p\) hindurchgehenden Kurve im positiven Sinne (\(p\) kein Fixpunkt).
(4) Für je zwei Werte \(t_1,t_2\) und jedes \(p\) gilt \(f[f(p,t_1),t_2] = f(p,t_1+t_2)\), also \(f(p,0)=p\). Die Funktion \(f\) definiert eine “Strömung” (flow) in der Bahnkurvenschar. Je zwei in derselben Bahnkurvenschar definierte Strömungen können stetig ineinander deformiert werden.
Für viele Einzelergebnisse – Regularitätskriterium, Beispiele, Konstruktion von Stromröhren (tube) und insbesondere für die Definition der Mengenfunktion \(\mu \) (Kap. I der Arbeit), die die Grundlage der Konstruktionen des Verf. bildet - muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.

MSC:
54-XX General topology
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