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Convex regions in the geometry of paths, addendum. (English) JFM 59.1349.02
In der im Titel genannten Arbeit, auf welche dies Addendum Bezug nimmt (vgl. Quarterly Journ. (Oxford series) 3 (1932), 33-42; F. d. M. 58), hat Verf. das Bahnkurvensystem \[ \frac {d^2x^i}{ds^2}+\varGamma _{jk}^i\frac {dx^j}{ds}\frac {dx^k}{ds}=0 \] in konvexen Bereichen \(X\) untersucht, deren Punktepaare also stets durch eine Bahnkurve verbunden werden, die \(X\) nicht verläßt. Dabei waren die Parameter \(\varGamma _{jk}^i\) als Ortsfunktionen vorausgesetzt worden. Diese Voraussetzungen sind aber nicht notwendig. Man kann allgemeiner Bahnkurvensysteme der Art \[ \frac {d^2x^i}{ds^2}=H^i\left ( x,\frac {dx}{ds}\right ) \] verwenden, wenn man nur (von Stetigkeits- und Lipschitzbedingungen abgesehen) \(H^i(x,\xi )\) homogen vom Grad 2 in \(\xi \) wählt. Diese Verallgemeinerung schließt insbesondere noch den wichtigen Fall in sich, wo die Bahnkurven aus dem Variationsproblem \[ \delta I=\delta \int \limits _{t_0}^{t_1}F(x,\dot x)dt=0 \] (\(F(x,\xi )\) positiv homogen vom ersten Grad in \(\xi \), \(F_{\xi _i\xi _j}\lambda ^j\neq 0\) für \(\lambda ^i=\varrho \xi ^i\)) hervorgehen. Auch die Schlußbemerkungen der erwähnten Abhandlung lassen sich so verallgemeinern und gelten dann sogar für Räume positiver Finslerscher Metrik: \[ ds^2=g_{ij}(x,dx)dx^idx^j, \qquad g_{ij}=\frac 12\frac {\partial ^2(F^2)}{\partial (dx^i)\partial (dx^j)}. \]

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