Geometria completa dei trasporti rigidi su una \(V_2\). (Metrica lineare ed angolare, trasporto di fasci di direzioni, di punteggiate). (Italian) JFM 59.1355.02

Andreoli, G.

Annali Pisa (2) 2, 199-208 (1933).

Verf. vervollständigt hier die in einer früheren Arbeit (Parallelismi, trasporti rigidi, riferimenti locali nelle \(V_2\), Annali Pisa (2) 1 (1932), 315-332; F. d. M. 58) begonnenen Ausführungen über die starre Übertragung von Richtungsbüscheln und geodätischen Punktreihen (“punteggiate geodetiche”) auf einer Fläche. (Siehe auch die Note des Verf. Coppie reciproche di \(V_2\): legge di dualità delle metriche lineari e tangenziali, dei parallelismi e metrismi I, II; Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 15 (1932); 272-275, 340-344; F. d. M. 58. Ferner G. Barba 1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 630; Trasporti metrici di punteggiate e trasporti rigidi di fasci, Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 14 (1931), 468-471; F. d. M. 57)
Eine starre Verschiebung einer geodätischen Punktreihe “metrische Übertragung” oder “Metrismus”, ist nach Verf. eine (kongruente) Abbildungsvorschrift zwischen je zwei unendlich benachbarten geodätischen Linien. Diese Begriffsbildung ist in gewisser Weise dual zur Parallelübertragung (im verallgeminerten Sinne). Das dual Entsprechende der autoparallelen Linien sind die “Linien der Gleichung Null”; das sind die Linien, längs welchen die berührenden geodätischen Linien sich derart entsprechen, daßauf je zwei von ihnen die Berührungspunkte homolog sind - so daßdie geodätische Linie, die durch den “Metrismus” verschoben wird, auf den Linien der Gleitung Null gleitet. In der Ebene ist der einfachste Fall des Metrismus derjenige, für den die Linien der Gleitung Null in Punkte ausarten. Mit jeder geschlossenen Kurve ist durch die Wirkung der metrischen Übertragung ein Segment auf der Tangente im Anfangspunkt verbunden; diesen nennt Verf. die mit der Kurve verbundene “Gleitung” (scivolamento). Verf. betrachtet verschiedene Sonderfälle der metrischen Übertragung, insbesondere die “absoluten Metrismen”; von da aus geht er zu den metrischen Übertragungen auf einer beliebigen Fläche über. Sind auf der Fläche unabhängig voneinander die Metrik, die Parallelübertragung der Richtungen und die metrische Übertragung der geodätischen Linien gegeben, so führen zwei unendlich benachbarte Elemente erster Ordnung einer Kurve auf drei verschiedene Invarianten (oder “Krümmungen”), von denen die eine längs den geodätischen Linien, die zweite längs den Autoparallelen und die dritte längs den Linien der Gleitung Null verschwinden.
Verf. weist auch auf eine kinematische Deutung der Metrismen und Parallelismen in der euklidischen Ebene hin.

Reviewer: Bortolotti, Enea, Prof. (Florenz)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.