Su alcuni elementi lineari proiettivi. (Italian) JFM 59.1366.01

Terracini, A.

Annali Pisa (2) 2, 401-420 (1933).

Verf. bestimmt im Anschlußan einen von ihm schon in früheren Arbeiten (1926, 1933; F. d. M. 52, 757 (JFM 52.0757.*); \(59_{\text{I}}\), 693) verfolgten Gedankengang auf geometrisch sehr anschauliche Weise gewisse Differentialinvarianten des Paares unendlich benachbarter Elemente einer Geradenkongruenz (im gewöhnlichen \(S_3\)) oder einer “\(M\)-Figur”, d. h. einer Figur, die im \(S_3\) durch Vereinigung einer Fläche \(S\) mit einer Kongruenz von Geraden, die durch deren Punkte hindurchgehen, gebildet wird, und entwickelt eine Theorie darüber.
Der allgemeine Leitgedanke ist folgender: Sind \(P\) und \(P^{*}\) zwei unendlich benachbarte Lagen von Erzeugenden der zu untersuchenden Figur, so ist eine Invariante von \(P\), \(P^{*}\), welche - wie es immer in der projeketiven Geometrie zutrifft - von einer Umgebung von \(P\) der Ordnung \(>1\) abhängt, als Invariante der beiden durch \(P\) und \(P^{*}\) bestimmten Umgebungen von passender Ordnung (oder besser so, daßdie Ordnungen der Umgebungen “unter \(P\) und \(P^{*}\) in gerechterer Weise verteilt werden”) auszudrücken. Auf diesem Gedanken gerade beruhen die vom Verf. bereits l. c. gegebenen Deutungen des projektiven Bogenelements einer Fläche oder einer ebenen Kurve. Hier wendet Verf. denselben Gedanken auf Geradenkongruenzen an und wird so dazu geführt, das Hauptglied des Doppelverhältnisses, das auf einer erzeugenden Geraden \(g\) aus den beiden Brennpunkten zusammen mit den Schnitten von \(g\) mit den beiden durch eine \(g\) unendliche benachbarte Gerade \(g^{*}\) der Kongruenz gehenden Brennebenen gebildet wird, “projektives Linienelement” einer Kongruenz zu nennen. Dieses projektive Linienelement \(\vartheta \) verschwindet längs der durch die Asymptotenlinien der beiden Brennmäntel bestimmten Regelflächen und fällt mit dem Ausdruck \(\dfrac {\varPhi _4}{\varphi }\) zusammen, den Fubini und Čech mit dem gleichen Namen bezeichnet haben (Geometria proiettiva differenziale II (1927; F. d. M. 52, 751 (JFM 52.0751.*)), p.579). Während die Bedingung dafür, daßzwei Geradenkongruenzen dasselbe Verhältnis \(\dfrac {\varPhi _4}{\varphi }\) besitzen, nur notwendig, aber nicht hinreichend für die projektive Abwickelbarkeit (zweiter Ordnung) der beiden Kongruenzen ist, ist dagegen die Gleichheit von \(\vartheta \) für die beiden Kongruenzen sowohl notwendig als auch hinreichend für die projektive Abwickelbarkeit.
Verf. geht nun dazu über, die bereits erwähnten \(M\)-Figuren zu betrachten, und definiert für diese als “projektives Linienelement” die quadratische Form \(\vartheta \), das Hauptglied des Doppelverhältnisses (\(P^{*}\), \(g^{*}\alpha _1\), \(g^{*}\pi \), \(g^{*}\alpha _2\)), wobei \(\pi \) die Tangentialebene der Fläche \(S\) in \(P,P^{*}\) ein \(P\) unendlich benachbarter Punkt auf \(S, g\) und \(g^{*}\) die durch \(P\) und \(P^{*}\) gehenden Erzeugenden der Kongruenz \(\varGamma,\alpha _1\) und \(\alpha _2\) die durch \(g\) gehenden Brennebenene von \(\varGamma \) sind. Eine spezielle Anwendung führt auf eine interessante Deutung des (metrischen) Krümmungsmaßes einer Fläche in einem Punkte. \(\vartheta \) ist immer proportional der ersten quadratischen (asymptotischen) Form \(F_2\) der Fläche \(S\), so daß, wenn die Kongruenz mit der Fläche zusammen gegeben ist, die Bedingung \(F_2=\vartheta \) eine Normierung der homogenen projektiven Koordinaten der Punkte von \(S\) liefert. Nennt man zwei \(M\)-Figuren “abwickelbar”, wenn sie dasselbe Linienelement besitzen, so stehen bemerkenswerte Sonderfälle dieser Abwickelbarkeit in enger Beziehung zu den asymptotischen Transformationen der Flächen und zu den Segreschen \(F\)-Transformationen (1928; F. d. M. 54, 739 (JFM 54.0739.*)). Eine andere Differentialinvariante der \(M\)-Figur ist die quadratische Form \(H\), das Hauptglied des Doppelverhältnisses \(PP^{*}(g,t,g^{*},t')\), das aus den Ebenen gebildet wird, die von \(PP^{*}\) aus die Geraden \(g\) und \(g^{*}\) und die beiden Asymptotentangenten \(t\) und \(t'\) in \(P\) projizieren. Wenn zwei \(M\)-Figuren nicht nur die Form \(\vartheta \), sondern auch \(H\) gemein haben, so nennt Verf. sie “total abwickelbar”. Unter den Paaren von abwickelbaren \(M\)-Figuren sind diejenigen total abwickelbar, für die sich den darin eingehenden Kongruenzen die Torsen entsprechen.
Verf. nennt zwei Kongruenzen \(\varGamma \) und \(\varGamma '\) zueinander assoziiert in bezug auf eine Fläche \((x)\), wenn die von ihnen und der Fläche \((x)\) gebildeten \(M\)-Figuren total abwickelbar sind. Er kennzeichnet geometrisch die allgemeinste einer Fläche “assoziierbare” Kongruenz - d. h. eine solche, die eine in bezug auf die Fläche assoziierte Kongruenz zuläßt - und beantwortet verschiedene Fragen, die mit diesen Begriffsbildungen in Zusammenhang stehen, z. B. die Aufgabe, zu einer gegebenen Fläche \((x)\) \(\infty ^1\) Kongruenzen so zu bestimmen, daß(1) ihre Torsen auf \((x)\) ein und dasselbe zweifache Kurvensystem ausschneiden und (2) die durch einen Punkt \((x)\) der Fläche gehenden Strahlen der verschiedenen Kongruenzen ein Büschel bilden. Die Arbeit schließt mit einem Hinweis auf die Beziehungen zwischen der vom Verf. entwickelten Theorie und derjenigen der stratifizierbaren Kongruenzen (vgl. besonders S. Finikoff, Rendiconti Palermo 53 (1929), 313-364; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 1023). Mit diesen Beziehungen und mit den Geradenkongruenzen, die in bezug auf eine Fläche mehrfach assoziierbar sind, hat sich Verf. in den beiden nachstehend besprochenen Arbeiten beschäftigt.

Reviewer: Bortolotti, Enea, Prof. (Florenz)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Differentialgeometrie in mehrdimensionalen und allgemeinen Räumen.

Citations:

JFM 52.0757.*; JFM 52.0751.*; JFM 54.0739.*