×

Transformation \(T\) des congruences de droites. (Italian) JFM 59.1368.02

Nach einer längeren Einleitung, historisch die Verdienste L. Bianchis und H. Jonas’ um die Entwicklung der liniengeometrischen Flächentheorie, sachlich den Formalismus dieser Theorie betreffend, definiert Verf. \(T\)-Konfigurationen bzw. \(T\)-Transformationen folgendermaßen: Erzeugen die Kanten \((x_1x_2)\) und \((x_3x_4)\) eines Tetraeders in ihrer Abhängigkeit von zwei Parametern \(u,v\) zwei Kongruenzen \(C\) und \(C_1\), so liegt eine \(T\)-Konfiguration vor, wenn die Brennpunkte jeder der beiden Kongruenzen in den Brennebenen der anderen liegen. Entsprechend (der gewählten Bezeichnung) sind dann die Punkte \((x_3)\) und \((x_4)\) Brennpunkte der Kongruenz \(C_1\) und die Ebenen \((x_1x_3x_4)\) und \((x_2x_3x_4)\) ihre Brennebenen (die Ebenen \((x_1x_3x_4)\) und \((x_2x_3x_4)\) Tangentialebenen an die Flächen \((x_3)\) und \((x_4)\)). Um eine Charakterisierung solcher \(T\)-Konfigurationen bzw. Transforamtionen \((C\to C_1)\) aus den allgemeinen Ableitungsgleichungen für begleitende Tetraeder zu erhalten, behandelt Verf. zunächst den Fall allgemeiner Tetraeder, anschließend den Fall der Verwendung Wilczynskischer Tetraeder. Weitere Sonderfälle ergeben gewisse \(W\)-Kongruenzen, Kongruenzen linearer Komplexe, reziproke Kongruenzen usw. Ein weiterer Abschnitt behandelt die \(T\)-Transformationen von \(W\)-Kongruenzen (Kongruenzen mit entsprechenden Asymptotennetzen auf den Brennflächenmänteln.) Hier gilt der Satz: Die \(T\)-Transformierte einer \(W\)-Kongruenz ist wieder eine \(W\)-Kongruenz (Konfiguration von Bianchi). Auch die Theorie stratifiabler Kongruenzpaare reiht sich in die der \(T\)-Konfigurationen als Spezialfall ein (vgl. Fubini, 1924; F. d. M. 50, 473 (JFM 50.0473.*)-474; Demoulin, Bulletin Acad. Bruxelles (5) 5 (1919), 425-440; F. d. M. 47, 667 (JFM 47.0667.*)). Weiterhin werden die stratifiablen \(W\)-Kongruenzen bestimmt und in drei Gruppen klassifiziert.
Ein weiterer Abschnitt behandelt zusammengesetzte \(T\)-Transformationen. Das Produkt zweier \(T\)-Transformationen (erster Ordnung) heißt \(T\)-Transformation zweiter Ordnung. Zwei \(T\)-Transformationen erster Ordnung heißen vertauschbar, wenn man aus ihnen durch Produktbildungen zwei gleiche \(T\)-Transformationen zweiter Ordnung erhalten kann. Von den zahlreichen Anwendungen des “Vertauschbarkeitstheorems” sei hier nur noch auf den Fall der sogenanten Jonasschen Transformationen hingewiesen. Schließlich gewinnt Verf. mit Hilfe einer Schar von Schmiegquadriken eine Transformationstheorie, die die Analoge zwischen \(T\)-Transformationen und asymptotischen Flächentransformationen weitgehend hervortreten läßt.
Man hat in vorliegender Arbeit eine systematische Zusammenfassung einer Reihe von Einzelarbeiten zu sehen (vgl. S. Finikoff, C. R. 188 (1929), 1647-1648; 189 (1929), 517-519; 190 (1930), 999-1001; 191 (1930), 642-644; F. d. M. \(55_{\text{II}}\),1023; \(56_{\text{II}}\), 1191-1192; \(56_{\text{I}}\), 607; ferner: La transformation \(T\) des congruences de droites, Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 14 (1931), 411-427; F. d. M. 57).
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: EuDML