×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les surfaces représentés par les fonctions sphériques de premier espèce. (French) JFM 59.1373.01
Es handelt sich um Flächen eines \(2r\)-dimensionalen Raumes (\(r\geqq 2\)), welche durch \(2r+1\) harmonische Polynome, vom Grad \(r\) homogen in drei Variablen und linear unabhängig, dargestellt werden. Sie bilden innerhalb der projektiven Geometrie eine Unterklasse einer sehr ausgedehnten Flächenklasse, der man in der Theorie der Kurvennetze gleicher Invarianten im Sinne von G. Tzitzéica (vgl. Géometrie différentielle projective des réseaux, Bucarest 1924, p.161), begegnet. Von noch größerem Interesse erscheinen diese Flächen im Zusammenhang mit E. Cartans Untersuchungen symmetrischer geschlossener Riemannscher Räume (1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 1029), in welche Theorie sie als gewisse Bildflächen des sphärischen zweidimensionalen Raumes eingehen.
Die vorliegende Untersuchung gliedert Verf. in drei Teile. Im ersten werden geometrische Konstruktion sowie projektive Eigenschaften der in Rede stehenden Flächen studiert, wobei ein Pfaffschen System und ein mit der Fläche invariant verknüpftes Vektorbein den Ausgang bildet. Zur Konstuktion der Fläche hat man den geometrischen Ort der Schnittpunkte aller Paare von Schmieg-\(S_r\) in konjugiertimaginären Punkten einer rationalen imaginären Normallkurve der Ordnung \(r\) zu bestimmt.
Im zweiten Abschnitt führt Verf. vermöge der invarianten Relation \[ F\equiv x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{2r}^2+\frac {1}{c}x^2=0 \] in den \(2n\)-dimensionalen Raum \(R_{2r}\) eine nichteuklidische Metrik ein. Betrachtet man sodann mit E. Cartan einen sphärischen Raum \(E\) von zwei Dimensionen, bezogen auf Koordinaten \(X,Y,Z\), die gemäß\^^M\(X^2+Y^2+Z^2=1\) verknüpft und der Drehgruppe \(g\) unterworfen sind, so bilden \(p\) unabhängige Funktionen \(x_0,\dots,x_{p-1}\) von \(X,Y,Z\) eine irreduzible Folge von “Fundamentalfunktionen in \(E\)”, wenn sich diese Funktionen bei jeder Transformation aus \(g\) gemäß einer irreduziblen linearen Gruppe \(G\) transformieren. Beschränkt man sich auf Fälle eineindeutiger Korrespondenzen zwischen Punkten von \(E\) und Funktionswerten einer solchen Folge, so ergibt sich durch Deutung der Funktionen \(x\) als Koordinaten einer Fläche \((\mathfrak M)\) eine eineindeutige Zuordnung \(\mathfrak M\to E\). Das Bogenelement von \(\mathfrak M\) bleibt bei Transformationen aus \(g\) erhalten und ist mit dem von \(E\) bis auf einen Faktor identisch. Man nennt \(\mathfrak M\) eine Darstellung von \(E\) und hat das Problem vor sich: Wieviel derartige Darstellungstypen des sphärischen Raumes \(E\) gibt es, und worin bestehen ihre geometrischen Eigenschaften. Aus der E. Cartanschen Theorie ergibt sich weiter die Dimensionszahl des Einbettungsraumes solcher Flächen zu \(2r\). Verf. behandelt zunächst die Fälle gerader bzw. ungerader Werte \(r\) gesondert, gewinnt sodann die explizite Darstellung der gesuchten Flächen und beweist unter anderem noch folgende Eigenschaften örtlich metrischer Natur: Das charakteristische Verschvinden des mittleren Krümmungsvektors, die Dimensionsionszahl \(2k\) des Schmiegraums \(k\)-ter Ordnung für \(k=1,2,\dots,r\) und die Eigenschaft, daß die Indikatrizen der Normalkümmung (verschiedener Ordnungen) Kreise sind, deren Radius stets derselbe ist für die ganze Fläche.
Im letzten Abschnitt untersucht Verf. schließlich die Minimalflächen des sechsdimensionalen nichteuklidischen Raumes der besonderen Eigenschaft konstanter Normalkrümmung aller auf ihnen verlaufenden Kurven. Es ergeben sich als solche nur Flächen, die durch Kugelfunktionen dritter Ordnung dargestellt werden. In diesem wie auch in dem vorletzten Abschnitt stützt sich Verf. mehrfach auf Ergebnisse seiner früheren Untersuchungen (Recherches sur la courbure des surfaces dans les espaces à \(n\) dimensions à courbure constante 1, Spisy Brno 1932, Nr.165, 22p.: F. d. M. 58; ferner: 1928; F. d. M. 54, 795 (JFM 54.0795.*).)

PDF BibTeX XML Cite