Quantum mechanics and asymptotic series. (English) JFM 59.1530.01

Birkhoff, G. D.

Bulletin A. M. S. 39, 681-700 (1933).

Die Arbeit befaßt sich damit, die mathematischen Grundlagen der Wentzel-Brillouin-Kramerschen Methode zur Lösung der quantenmechanischen Wellengleichug zu festigen.
Es sei \(L(\psi, \lambda )=0\) ein linearer homogener Differentialausdruck in der abhängigen Variablen \(\psi \) und unabhängigen Veränderlichen \(x_1,\dots,x_n\) und \(\lambda \) sind, die sich für \(|\lambda |>\Lambda \) in konvergente potenzreihen nach \(\frac {1}{\lambda }\) entwickeln lassen. Für die Lösung wird eine asymptotische Reihe der Gestalt \[ \psi \sim e^{\lambda S} \left (v_0 + \frac {v_1}{\lambda } + \frac {v_2}{\lambda ^2} + \dots \right ) \] angesetzt, in der die “Phasenfunktion” \(S\) und \(v_0\) (“Amplitudenfunktion”), \(v_1, \dots \) Funktionen von \(x_1, \dots,x_n\) sind. Der bei Einsetzung dieser Reihe in \(L(\psi, \lambda )\) sich ergebende von \(\lambda \) freie Teil gleich Null gesetyt, ergibt die sogeannte Multiplikatorgleichung: \[ P\left ( x_1, \dots, x_n; \frac {\partial S}{\partial x_1}, \dots, \frac {\partial S}{\partial x_n}\right ) = 0 \quad \left (\text{Polynom in} \frac {\partial S}{\partial x_i}(i=1,\dots,n) \right ). \] Mit den Definitonen \[ \frac {\partial ^{[1]}F}{\partial x_i} = \frac {1}{\lambda } \frac {\partial F}{\partial x_i}, \frac {\partial ^{[2]}F}{\partial x_i \partial x_j} = \frac {1}{\lambda ^ 2} \frac {\partial ^2 F}{\partial x_i \partial x_j}, \dots \] läßt sich \(L(\psi, \lambda )\) schreiben in der Gestalt: \(L(\psi, \lambda )= L_0(\psi )+ \frac {1}{\lambda } L_1(\psi ) + \dots \), wobei die \(L_i (\psi )\) \((i=0, 1, \dots )\) lineare homogene Ausdrücke in \(\psi,\frac {\partial ^{[1]}\psi }{\partial x_i} \frac {\partial ^{[2]}\psi }{\partial x_i \partial x_j}\), sind. \(L_0(\psi )\) nennt Verf. den Hauptteil von \(L(\psi, \lambda )\). Definiert man ein Kurvensystem \(x_i = x_i (\tau )\) \((i= 1, \dots, n)\) durch \(\frac {d x_i}{d \tau } = \frac {\partial P}{\partial y_i}\), so bestimmen sich die \(v_k\) aus einem Gleichungssystem der Gestalt \[ \frac {dv_{k-1}}{d \tau } + \Phi v_{k-1} + A_{k-1} = 0, \] wobei \(A_{k-1}\) ein bekannter Differentialausdruck in \(v_0, \dots, v_{k-2}\) ist. Eine Lösung, die dadurch bestimmt wird, daß\(v_0, v_1,\dots \) auf der begrenzung und außehalb eines kleinen Gebietes einer Transversalfläche \(\sum \) der obigen Kurvenschar verschwinden sollen, nennt Verf. ein asymptotisches Wellenpaket. Variiert \(\tau \), so schreitet eine solche Lösung längs der Charakteristiken fort, die durch das kanonische Gleichungssystem \[ \frac {dx_i}{d \tau } = \frac {\partial P}{\partial y_i}, \frac {d y_i}{d \tau } = -\frac {\partial P}{\partial x_i} \quad (i=1,\dots,n) \] definiert sind. Hat die Multiplikatorgleichung die Gestalt der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung, ist also \(P\) von der Gestalt \[ P \equiv \frac {\partial S}{\partial t} + H \left ( x_1, \dots,x _n; \frac {\partial S}{\partial x_1}, \dots, \frac {\partial S}{\partial x_n}\right ), \] so nimmt die entsprechende Hauptgleichung \(L_0(\psi ) = 0\) für \(\lambda = \frac {2\pi i}{h}\) die Gestalt der Schrödingerschen Wellengleichung an: \[ \frac {2\pi i}{h} \frac {\partial \psi }{\partial t} + H \left (x_1, \dots,x _n; \frac {2\pi i}{h} \frac {\partial }{\partial x_1}, \dots, \frac {2\pi i}{h} \frac {\partial }{\partial x_n}\right ) \psi = 0. \]
Im zweiten Teil der Arbeit gibt Verf. eine Ableitung der Wentzel-Brillouin-Kramerschen Gleichung \[ \oint (v(x) - E)^{\frac {1}{2}} dx + \dots = \frac {(R+\frac 12)h}{(2m)^{\frac 12}} \quad (k=0, 1, \dots ). \] Dieses Resultat wird hier streng aus der Betrachtung der Eigenwertgleichung \[ \frac {d^2 \psi }{d x^2} + \lambda ^2 (E-v(x)) \psi = 0 \left (\lambda ^2 = \frac {8 \pi ^2 m}{h^2}\right ) \] abgeleitet in der \(v(x)\) eine reelle Funktion ist, die für alle reellen Werte von \(x\) analytisch ist und rür \(x=x_0\) ein einziges absolutes Minimum besitzt. Für große \(|x|\) soll sich \(v(x)\) in eine Reige der Gestalt \(a + \frac {b}{x} + \dots \) entwickeln lassen.

Reviewer: Schröder, K., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Siebenter Abschnitt. Mathematische Physik. Kapitel 3. Quantentheorie.