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Sur les ensembles ponctuels entourés de points ordinaires et, en particulier, sur les courbes et les surfaces à courbure bornée. (French) JFM 60.0043.02
Die Untersuchungen über die Konstruktion von Cantor-Minkowski (vgl. etwa (1) G. Bouligand, Sur la construktion de Cantor-Minkowski, Annales Soc. Polonaise 9 (1931), 21 - 31; F. d. M. 57; (2) G. Durand, Sur une généralisation des surfaces convexes, Journ. de Math. (9) 10 (1931), 335 414; F. d. M. 57) erlauben, die Kurven und Flächen mit beschränkter Biegung auf einfache Art zu charakterisieren. Dazu ist es notwendig, die Bedingungen zu kennen, die eine abgeschlossene, beschränkte Punktmenge \(E\) erfüllen muß, damit jeder Punkt in der Entfernung \(e\) von \(E\) - und damit auch, wie in (1) gezeigt, jeder Punkt in kleiner Entfernung als \(e\) von \(E\) - ein“gewöhnlicher” Punkt (point ordinaire) ist. Macht man außer den hierfür gefundenen Bedingungen für \(E\) die Annahme, daß die Menge \(E_e\) aller äußeren Punkte von \(E\) mit dem Abstand \(\leq e\) von \(E\) ein Gebiet ist, so wird \(E\) ein Kontinuum. \flushpar Es sei an dieser Stelle auf ein weiteres Ergebnis der bisherigen Untersuchung hingewiesen: die Begriffe Parallelität im Sinne der Cantor-Minkowskischen Konstruktion und Parallelität im klassischen Sinne sind im allgemeinen von einander verschieden. Sie fallen aber zusammen für zwei Kurven (bzw. im Raume für zwei Flächen), die beide isodistant sind von einer Menge \(E\) der betrachteten Art, und deren Abstand von \(E\) kleiner als \(e\) ist. \flushpar
Es sei nun ein Kontinuum ohne innere Punkte. Dann ist \(E\) eine Fläche beschränkter Biegung, wenn von jedem Punkt \(P\) von \(E\) in einer genügend kleinen Umgebung eines Punktes \(P_0\) von \(E\) genau zwei Lote auf die Begrenzung \(F\) von \(E_e\) ausgehen, die überdies entgegengesetzt gleich gerichtet sind. \(E\) wird eine Kurve beschränkter Biegung, wenn von jedem Punkt \(P\) von \(E\) zwei Lote auf \(F\) ausgehen, die nicht zusammen eine Gerade bilden.
Subjects:
Erster Halbband. Zweiter Abschnitt. Mengenlehre. Abstrakte Mengen. Punktmengen.
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Full Text: EuDML