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Lectures on matrices. (English) JFM 60.0051.03

Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die Verf. mehrmals an der Princeton University N. J. gehalten hat. Wenn es sich auch im Stoff auf das rein algebraische Gebiet beschränkt und die in Verbindung mit der Zahlentheorie auftretenden arithmetischen Fragen in der Theorie der Matrizen nicht in seinen Bereich zieht, so hat das Buch gerade in dieser seiner Beschränkung den großen Vorzug der Ausführlichkeit und Vollständigkeit. Die überaus klare und einfache Darstellung lassen den Leser leicht den Zugang zu den schwierigeren Teilen der Theorie finden. Den Aufbau des Buches wird eine genauere Darstellung seines Inhaltes erkennen lassen.
Kap. I bringt, ausgehend von dem Begriff der linearen Transformation im \(n\)-dimensionalen Raum, die grundlegenden Begriffe und den formalen Rechenapparat für Vektoren und Matrizen. Der Vektorbegriff steht überhaupt im Verlaufe des ganzen Buches sehr im Vordergrund; dies erleichtert Verf. sehr oft in bedeutendem Maße die Darstellung. Hier wird dadurch und durch die sofortige Einführung der zu einer Matrix gehörenden Bilinearform vom Verf. eine zwanglose Herleitung zahlreicher Begriffe wie Ähnlichkeit zweier Matrizen, Rang einer Matrix und der wichtigen speziellen Typen von Matrizen wie orthogonale oder unitäre Matrizen erreicht.
Kap. II beschäftigt sich zunächst mit Matrixpolynomen, d. h. Matrizen, deren Elemente Polynome in einer Veränderlichen sind; dieser Teil dient in der Hauptsache als Vorbereitung zu der in den nächsten Kapiteln folgenden Entwicklung der Elementarteilertheorie für solche Matrizen. Der zweite Teil dieses Kapitels behandelt die charakteristische Gleichung einer Matrix und anschließend die reduzierte Gleichung. Auf eine eingehende Untersuchung der Matrizen mit lauter verschiedenen charakteristischen Wurzeln folgt die Behandlung des allgemeinen Falles. Es ergeben sich hierbei die bekannten Resultate über die charakteristischen Wurzeln der Polynome in einer Matrix.
Das folgende Kap. III hat die schon vorbereitete Elementarteilertheorie für Matrixpolynome zum Inhalt. Durch Reduktion auf die Normalform durch elementare Transformationen wird der Fundamentalsatz gewonnen, daß zwei Matrixpolynome dann und nur dann äquivalent sind, wenn ihre Elementarteiler übereinstimmen. Die Anwendung auf lineare Matrixpolynome führt in der üblichen Weise zu dem Elementarteilerkriterium für die Ähnlichkeit zweier vorgegebener Matrizen mit konstanten Koeffizienten. Die wichtige Ergänzung zu diesem Satze, die die Entscheidung der Frage nach der Existenz von Matrizen mit vorgegebenen Elementarteilern zum Inhalt hat, sowie die Aufstellung der zu den Elementarteilern gehörenden Eigenvektoren machen den Schluß des Kapitels aus.
Konnte das vorige Kapitel im Äquivalenzproblem für lineare Matrixpolynome nur den regulären Fall erledigen, so hat Kap. IV die allgemeine Erledigung dieses Problems zum Inhalt. Dazu sind tiefe und eingehende Untersuchungen über Vektorpolynome erforderlich, die den größten Teil dieses Kapitels erfüllen.
In Kap. V entwickelt Verf. die Theorie der rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe, im wesentlichen in der Weise, wie das I. Schur in seiner Dissertation [Berlin (1901; JFM 32.0165.04)] und in seiner Arbeit “Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe” [Sitzungsber. Akad. Berlin (1927; JFM 53.0108.05)] getan hat. Dies macht eine genauere Untersuchung der von einer Matrix induzierten Determinanten- und Potenztransformationen notwendig. Die Einführung der Vektorprodukte und Tensoren leitet zu der Weylschen Entwicklung der Darstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe über; dadurch wird die Verbindung der Schurschen und der Weylschen Theorie in besonders klarer und durchsichtiger Form aufgezeigt.
Kap. VI behandelt in der üblichen Weise die Theorie der symmetrischen, schiefsymmetrischen und Hermiteschen Matrizen und Formen und der Scharen solcher Matrizen.
Kap. VII gibt eine eingehende Untersuchung der mit einer vorgegebenen Matrix vertauschbaren Matrizen. Die allgemeinste mit einer Matrix vertauschbare Matrix wird in der üblichen Weise direkt durch Übergang zu der Jordanschen Normalform gewonnen. Weiterhin werden einige Sätze über Systeme von vertauschbaren Matrizen hergeleitet, insbesondere der bekannte Satz über die charakteristischen Wurzeln einer Funktion mehrerer miteinander vertauschbaren Matrizen. Schließlich behandelt Verf. noch die Sylvesterschen Identitäten.
Kap. VIII besteht aus einer Reihe von nur äußerlich zusammenhängenden Teilen. Ref. glaubt daher, um so mehr als Verf. hier nur auf das Elementarste eingeht, auf eine genauere Skizzierung des Inhalts verzichten zu können, und gibt nur die Titel der einzelnen Abschnitte an: Matrixpolynome; Unendliche Reihen; Die kanonische Form einer Funktion; Wurzeln der Null- und Einheitsmatrix; Die Gleichung \(y^m=x\); Algebraische Funktionen; Exponentialfunktion und logarithmische Funktion; Die kanonische Form einer Matrix in einem gegebenen Körper; Der absolute Wert einer Matrix; Unendliche Produkte; Der absolute Wert eines Tensors; Matrixfunktionen einer skalaren Veränderlichen; Funktionen eines veränderlichen Vektors; Differentiationsformeln.
Das letzte eigentlich matrizentheoretische Kapitel IX behandelt noch die Frage der automorphen Transformationen einer bilinearen Form. Es werden die bekannten Eigenschaften der transformierenden Matrix hergeleitet; ferner wird die Lösung der Aufgabe mit Hilfe der Exponentialfunktion gezeigt.
Kap. X gibt eine kurze Darstellung der Theorie der linearen assoziativen Algebren mit endlicher Basis. Es erscheinen hier die Hauptsätze dieser Theorie, insbesondere der Zerlegungssatz für Algebren mit Haupteinheit. Die vollständige Entwicklung der Darstellungstheorie für halbeinfache Systeme verbindet dieses Kapitel mit dem Hauptthema des Buches. Der letzte Abschnitt weist noch kurz darauf hin, wie hieraus die Darstellungstheorie endlicher Gruppen entwickelt werden könne.
Der erste Anhang des Buches gibt historische Anmerkungen, die, wie Verf. selbst meint, leider nur sehr knapp sind. Um so wertvoller ist für den Leser aber der zweite Anhang, der eine überaus sorgfältig bearbeitete Bibliographie über die matrizentheoretische Literatur von 1853–1933 gibt. Wenn freilich eine Vollständigkeit nicht erreicht werden konnte (sie lag auch sicher nicht in der Absicht des Verf.), so bedeutet dieses Verzeichnis doch eine wertvolle Hilfe für jeden, der in die überaus reizvolle Theorie tiefer eindringen will, die den Gegenstand des vorliegenden Buches bildet.
Inhaltverzeichnis:
I. Matrizen und Vektoren. II. Algebraische Operationen mit Matrizen. Die charakteristische Gleichung. III. Invariante Faktoren und Elementarteiler. IV. Vektorpolynome. Singuläre Matrixpolynome. V. Induzierte Matrizen (Compound matrices). VI. Symmetrische, schiefsymmetrische und Hermitesche Matrizen. VII. Vertauschbare Matrizen. VIII. Funktionen von Matrizen. IX. Die automorphe Transformation einer Bilinearform. Anhang I. Anmerkungen. Anhang II. Bibliographie: Index zur Bibliographie. Index. (III 5, IV 8.)

MSC:

15-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to linear algebra