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Über Automorphismen von Fundamentalgruppen berandeter Flächen. (German) JFM 60.0091.01
Verf. befaßt sich mit der Abbildungsklassengruppe (Gruppe der Klassen stetig ineinander deformierbarer topologischer Selbstabbildungen) der \(n\)-mal punktierten Kugelfläche und des \(n\)-mal punktierten Torus. Erzeugende für diese Gruppen hat Fricke (Fricke und Klein, Automorphe Funktionen, I (1897; F. d. M. 28, 334 (JFM 28.0334.*)) Abschn. 2, Kap. 2) angegeben; jedoch involviert seine Ableitung Hilfsmittel, die über die Topologie und Gruppentheorie wesentlich hinausgehen, und sie mag auch noch der Nachprüfung bedürfen. Die Relationen der Gruppen leitet Fricke (a. a. O. sowie Nachrichten Göttingen 1896, 91-101; F. d. M. 27, 326 (JFM 27.0326.*)) für den Fall des einfach punktierten Torus und der vierfach punktierten Kugel ab. Auch bringt er die Abbildungsklassengruppen in Zusammenhang mit birationalen Transformationen gewisser algebraischer Gebilde in sich. Verf. bestimmt nun Erzeugende und Relationen der Abbildungsklassengruppe für den Fall der \(n\)-mal punktierten Kugelfläche und den Fall des zweimal punktierten Torus und gibt ein Verfahren an, die Aufstellung der Erzeugenden und Relationen im Fall des \(n\)-fach punktierten Ringes induktiv durchzuführen. Eine entsprechende Behandlung der \(n\)-fachpunktierten orientierbaren Flächen höheren Geschlechts wird in Aussicht gestellt. - Die Fundamentalgruppe der \(n\)-fach punktierten Kugel bzw. des \(n\)-fach punktierten Ringes wird erzeugt durch die Elemente \(u_1,\dots u_n\) bzw. \(u_1,\dots, u_n, a, b\) und besitzt die einzige definierende Relation \[ \begin{aligned} R_{\varkappa }(U) &\equiv u_1\cdot u_2\cdot \dots \cdot u_n = 1,\\ R_R(u, a, b) &\equiv u_1\cdot u_2\cdot \dots \cdot u_n\cdot a^{-1}\cdot b\cdot a\cdot b^{-1} = 1.\end{aligned} \] (Die \(u_i\) sin Umläufe um die Randpunkte, \(a\) und \(b\) Riemannsche kanonische Schnitte auf dem Torus.) Die Elemente der Abbildungsklassengruppe induzieren nun Automorphismen der Fundamentalgruppe; dabei sind die neuen Erzeugenden Bedingungen unterworfen: \[ u'_{\nu } = T_{\nu }u_{k_{\nu }}T^{-1}_{\nu }\qquad (\nu, k_{\nu } = 1,\dots, n),\tag{T} \] und \[ R_{\varkappa }(u') = 1\qquad \text{ bzw. }\qquad R_R(u', a', b') = 1. \] Die diesen Bedingungen genügenden Automorphismen bilden eine Gruppe \(\overline {\mathfrak A}_n\). Da die zur Klasse der Identität gehörenden Abbildungen (und nur diese) die inneren Automorphismen induzieren, so ist die gesuchte Abbildungsklassengruppe \(\mathfrak A _n\) isomorph einer Untergruppe der Faktorgruppe \(\overline {\mathfrak A}_n/ \mathfrak F _n\) (\(\mathfrak F _n\) Gruppe der inneren Automorphismen der Fundamentalgruppe). Aber es ergibt sich sogar \(\mathfrak A _n \cong \overline {\mathfrak A}_n/ \mathfrak F _n\), weil nämlich die Erzeugenden von \(\overline {\mathfrak A}_n\) von geeigneten angebbaren Abbildungsklassen induziert werden. Nun wird jedoch nicht \(\overline {\mathfrak A}_n\) direkt untersucht, sondern erst eine Gruppe \(\overline {\mathfrak A '}_n\) vom Index \(n\) unter \(\overline {\mathfrak A}_n\) welche \(\mathfrak F _n\) enthält: diejenige nämlich, für die \[ u'_1 = T_1 u_1 T^{-1}_1 \] (also \(k_1 = 1\)) ist. Diese Gruppe führt nun weiterhin auf die Betrachtung derjenigen Gruppe von Automorphismen der freien, von \(u_2,\dots, u_n\) bzw. \(u_2,\dots, u_n, a, b\) erzeugten Gruppe, für die \[ u'_{\nu } = T_{\nu }u_{k_{\nu }}T^{-1}_{\nu }\qquad (\nu, k_{\nu } = 2,\dots, n) \] und (für die Kugelfläche) \[ u'_2\cdot \dots \cdot u'_n \equiv u_2\cdot \dots \cdot u_n \] bzw. (für den Ring) \[ u'_2\cdot \dots \cdot u'_n\cdot {a'}^{-1}b'a'{b'}^{-1} \equiv u_2\cdot \dots \cdot u_n\cdot a^{-1}\cdot b\cdot a\cdot b^{-1} \] identisch in den rechts stehenden Erzeugenden erfüllt ist. Diese Gruppen werden mit \(\mathfrak Z _{n-1}\) im Fall der Kugel, mit \(\mathfrak B _n\) im Fall des Torus bezeichnet. Nun lassen sich die Erzeugenden und Relationen von \(\mathfrak B _n\) rekursiv aus denen von \(\mathfrak B _{n-1}\) bestimmen und die von \(\mathfrak A _n\) (im Falle des Ringes) aus denen von \(\mathfrak B _n\); das ist nur für den Fall \(n=2\) im einzelnen durchgeführt (wobei \(\mathfrak B _2\) direkt berechnet wird). Im Falle der Kugel wird \(\mathfrak A _n\) als eine Faktorgruppe von \(\mathfrak Z _n\) erwiesen (man beachte den um 1 erhöhten Index). \(\mathfrak Z _n\) selbst ist aber nichts anderes als die Gruppe der Artinschen Zöpfe für \(n\) Fäden. (Abhandlungen Hamburg 4 (1926), 47-72; F. d. M. 52, 450 (JFM 52.0450.*)), in deren Struktur auf diesem Wege neuer Einblick gewonnen wird. Der Zusammenhang der Abbildungsklassengruppe mit der Zopfgruppe ist kein zufälliger: Verf. demonstriert durch eine geschickte Darstellung der Kugelabbildungen die geometrische Bedeutung der Zöpfe für das Problem und veranschaulicht dabei auch die Relationen, die zu denen der Zopfgruppe hinzuzutreten haben, damit die Abbildungsklassengruppe entsteht. Auf diesem Wege gelingt es Verf. auch, die Relationen der Zöpfegruppe selbst gruppentheoretisch abzuleiten, während Artin (a. a. O.) weitgehend von topologischen Überlegungen Gebraucht macht. (V 2.)

Subjects:
Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra.
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References:
[1] Zwei topologische Abbildungen einer Fläche auf sich heißen zur selben Klasse gehörig, wenn sie sich nur um eine stetig in die Identität überführbare Abbildung unterscheiden. Vgl. etwa J. Nielsen, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. Acta Mathematica50 (1927), S. 265. · JFM 53.0545.12
[2] E. Artin, Theorie der Zöpfe. Abh. Math. Sem. Hamb. Univ.4 (1926), S. 47-72. · JFM 51.0450.01
[3] R. Fricke und F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. 1, Leipzig 1897, Abschnitt 2, Kap. 2.
[4] Baer, Journ. f. Math.156 (1927),159 (1928).
[5] Siehe 3) R. Fricke und F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. 1, Leipzig 1897 und ?Über die Theorie der automorphen Modulgruppen?, Göttinger Nachrichten 1896.
[6] Siehe z. B. 1), S. 281. Der Beweis für berandete Flächen läßt sich auf den Fall der geschlossenen Flächen zurückführen, indem man die Punkte durch ?Löcher? ersetzt, und diese durch aufgesetzte gelochte Ringe schließt. Man hat dann Abbildungen der so entstehenden geschlossenen Fläche zu untersuchen, bei denen die aufgesetzten Ringe punktweise festbleiben. · JFM 53.0545.12
[7] Nach einer mündlichen Mitteilung von Herrn Bernhard Neumann.
[8] Die Untergruppen der freien Gruppen, Abh. Math. Sem. Hamb. Univ.5 (1927), S. 168 ff. · JFM 53.0110.01
[9] Abh. Math. Sem. Hamb. Univ.5 (1927), S. 9-13.
[10] Siehe loc. cit. 2) S. 47, 58 und Fig. 11. · JFM 51.0450.01
[11] Siehe O. Schreier,loc. cit. 8), S. 171.
[12] S. Artin?2), S. 54.
[13] Vgl. etwa K. Reidemeister, Einführung in die kombinatorische Topologie, Braunschweig 1932, I, 12, S. 23. · Zbl 0004.36904
[14] Siehe l. c. 3) R. Fricke und F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. 1, Leipzig 1897, S. 320ff.
[15] Mathem. Annalen78 (1918). Insbesondere S. 393. · JFM 46.0839.01
[16] A 1 A 2 soll der Automorphismus sein, der entsteht, wenn erstA 1 und dannA 2 ausgeführt wird.
[17] Siehe l. c.3), R. Fricke und F. Klein, Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Bd. 1, Leipzig 1897, Abschnitt 2, Kap. 2. S. 299-329.
[18] Vgl. Dehn, Baer l. c.4) Journ. F. Math.156 (1927). Ferner L. Goeritz, Abh. aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität,9 (1933), S. 223.
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