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Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelsche Zahlkörper. (German) JFM 60.0123.03
Vollständiger Beweis der in F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 191 besprochenen C. R.-Noten des Verf. Die Ausgangsfrage ist: Wie groß muß \(v\) zu gegebenem \(u\) gewählt werden, damit im galoisschen Körper \(K/k\) stets \[ N(A) \equiv 1 \text{ mod }\mathfrak p ^u \] für \[ A \equiv 1 \text{ mod }\mathfrak O ^v, \] wenn \(\mathfrak p = \mathfrak O ^{n_0}\) Primideal in \(k\) und \(\mathfrak O\) das Produkt seiner verschiedenen Primteiler in \(K\) ist? Es genügt die stückweise lineare Funktion \(v = v(u)\) mit \(v(0) = 0\), deren Steigung jeweils der Relativgrad des Verzweigungskörpers mod \(\mathfrak B ^{v+1}\) über dem Trägheitskörper des Primteilers \(\mathfrak B\) von \(\mathfrak p\) in \(K\) ist. Zum Beweis wird \(A = 1+\Gamma \) gesetzt, und es bleibt die \(\mathfrak B\)-Teilbarkeit von Teilnorm-Spuren von \(\Gamma \) zu untersuchen, was mittels der Dedekindschen Differentendefinition gelingt.
Eine Multiplikation des Normenrestindex mod \(\mathfrak p ^u \to \mathfrak p ^{u+1}\) findet dann höchstens an den ganzzahligen Knickstellen \(u_{\varrho }\) von \(v(u)\) statt, deren Funktionswerte die Verzweigungszahlen \(v_{\varrho }\) sind, und zwar höchstens mit dem Gradquotienten \(\frac {n_{\varrho -1}}{n_{\varrho }}\) der zugehörigen Verzweigungskörper.
Bei abelschem \(K/k\) findet an jeder Knickstelle die volle Multiplikation statt, und es ist der Führer \(\mathfrak f _{\mathfrak p} (K/k) = \mathfrak p ^{u_r+1}\), wo \(u_r\) die letzte Knickstelle ist. Entsprechend ist für den \(\mathfrak p\)-Führer eines Unterköpers \(\bar K\) von \(K\) die letzte Knickstelle, die der kleinste \(\bar K\) enthaltende Verzweigungskörper noch mitmacht, maßgebend. Daraus folgt dann die Führer-Diskriminantenformel.
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